Wartość śrenia

[jarzabek89]

Przeglądając kolokwia z Probabilistyki na pewnej uczelni natknąłem się na takie zadanie:

Zmienna losowa przyjmuje dowolną liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{3^n}}\). Oblicz wartość oczekiwaną.

Zanim zacząłem liczyć wartość oczekiwaną, sprawdziłem sobie czy to zadanie ma w ogóle jakiś sens. Mianowicie, czy tworzy ono układ zupełny. Poszczególne prawdopodbieństwa tworzą ciąg geometryczny:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{1}{3} \cdot \frac{1-\frac{1}{3}^n}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{2}}\)

Skoro prawdopodobieństwo wszystkich możliwych zdarzeń jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), zadanie jest bezsensu. Zgodzicie się ze mną, czy jednak coś źle myślę?

[bartek118]

Oczywiście - nie ma to sensu przyjmując, że zmienna losowa przyjmuje tylko wartości naturalne. Jednak z drugiej strony - nikt nie napisał, że nie przyjmuje nic więcej, ale wtedy nie ma sensu liczenie wartości oczekiwanej.

[jarzabek89]

Aj nie dopisałem. Zmienna losowa przyjmuje tylko i wyłącznie wartości naturalne.
Tak, czy siak, zadanie jest bezsensu.

[bartek118]

Zgadza się.