rozkład zmiennej losowej/gęstość

[matma77]

Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\)
wyznaczyć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y= \sqrt{X}}\) oraz jego gęstość
Naszkicować wykres dystrybuanty i gęstości zmiennej losowej Y.
Obliczyć\(\displaystyle{ E(3X ^{2}-1 )}\)


moje rozwiązanie:
z rozkładu jednostajnego nad odcinkiem \(\displaystyle{ [a,b]}\)
gęstość:

f(x)= 1 dla \(\displaystyle{ x \in [0,1]}\)
\(\displaystyle{ 0}\)dla pozostałych przypadków



\(\displaystyle{ EX}\) całka wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
tyle, że obliczyłam gęstość X

jak rozwiązać to zadanie?

[lokas]

\(\displaystyle{ F_Y \left( t\right) =P\left( Y \le t\right)=P\left( \sqrt{X} \le t\right)=P\left( 0\le X \le t^2 \right)=F_X \left( t^2\right)-F_X \left( 0\right)=F_X \left( t^2\right)}\)

\(\displaystyle{ E\left(3X ^{2}-1 \right)=3E\left( X^2\right)-1=3\left[ \mathrm{Var}\left( X\right)+\left[ E\left( X\right)\right]^2\right]-1}\)

Dalej chyba dasz rade samodzielnie(?).

[stanley12]

Chciałbym zapytać, czy aby to przejście jest na pewno dobre? Skąd wzięło się to zero? Z dziedziny wyrażenia podpierwiastkowego?

\(\displaystyle{ P\left( \sqrt{X} \le t\right)=P\left( 0\le X \le t^2 \right)}\)

[lokas]

Tak