Do szpitala zgłasza się średnio ...

[lch]

Do szpitala zgłasza się średnio
60% chorych na chorobę A,
30% - na chorobę B,
oraz 10% na chorobę C.
Prawdopodobieństwa pełnego wyleczenia z choroby A, B, C odpowiednio wynoszą: 0.8; 0.7; 0.9.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że:
a) chory został wypisany ze szpitala;
b) wyleczony pacjent, który opuścił szpital, chorował na chorobę A.

proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania, wiem że jest proste ale nie jestem pewien do końca jak to się robi.

[chris_f]

Pierwsze: prawdopodobieństwo całkowite
\(\displaystyle{ P=0,6\cdot0,8+0,3\cdot0,7+0,1\cdot0,9=0,48+0,21+0,09=0,76}\)

W drugim twierdzenie Bayesa, na tych samych liczbach, wystarczy, że podstawisz do wzoru.

[lch]

Pierwsze: prawdopodobieństwo całkowite
\(\displaystyle{ P=0,6\cdot0,8+0,3\cdot0,7+0,1\cdot0,9=0,48+0,21+0,09=0,76}\)

W drugim twierdzenie Bayesa, na tych samych liczbach, wystarczy, że podstawisz do wzoru.

Bardzo dziękuję za odpowiedz. Proszę jeszcze o pomoc do podpunktu b)
Wzór Bayesa który należy zastosować na prawdopodobieństwo warunkowe to bedzie ten?:
\(\displaystyle{ P\left( A|B\right) = \frac{P\left( A \cap B\right) }{P\left( B\right) }}\)
teraz trzeba opisać odpowiednio zdarzenia:
A - prawdopodobieństwo pełnego wyleczenia = 0,76
B - prawdopodobieństwo wyleczenia pacjenta chorującego na chorobę A = 0,6 * 0,8 = 0,48
teraz podstawić do wzoru tylko jak? jak obliczyć
\(\displaystyle{ P\left( A \cap B\right) }}\)

[chris_f]

Masz zły wzór: powinno być
\(\displaystyle{ P(T_i|X)=\frac{P(X|T_i)P(T_i)}{P(X)}}\)
W naszym przypadku będziemy mieli
\(\displaystyle{ A}\) - pacjent chorował na chorobę \(\displaystyle{ A}\)
\(\displaystyle{ B}\) - pacjent chorował na chorobę \(\displaystyle{ B}\)
\(\displaystyle{ C}\) - pacjent chorował na chorobę \(\displaystyle{ C}\)
\(\displaystyle{ W}\) - pacjent został wyleczony

Najpierw policzyliśmy \(\displaystyle{ P(W)=P=0,76}\), teraz musimy policzyć
\(\displaystyle{ P(A|W)=\frac{P(W|A)P(A)}{P(W)}=\frac{0,6\cdot0,8}{0,76}=\frac{0,48}{0,76}=0,63157894736842105263157894736842}\)

[lch]

Bardzo dziękuję, chris_f.
Czyli \(\displaystyle{ P\left(W|A\right) = 0,6}\) ???

[chris_f]

W przybliżeniu oczywiście.

Ale, co ważniejsze, nie \(\displaystyle{ P(W|A)}\) tylko na odwrót \(\displaystyle{ P(A|W)}\)
Mamy bowiem

\(\displaystyle{ P(W|A)}\) - prawdopodobieństwo, że pacjent zostanie wyleczony pod warunkiem, ze chorował na \(\displaystyle{ A}\), to znamy od początku wynosi \(\displaystyle{ 0,8}\).

A nas pytają o \(\displaystyle{ P(A|W)}\) czyli prawdopodobieństwo, że wyleczony pacjent chorował akurat na chorobę \(\displaystyle{ A}\), bo my wiemy już, że zaszło zdarzenie \(\displaystyle{ W}\) - bo pacjent został wyleczony i pytamy jaka jest szansa, że to akurat przyczyną tego wyleczenia było \(\displaystyle{ A}\)

Musisz poczytać o różnicy między prawdopodobieństwem a priori i a posteriori.