Cześć,
mam problem z rozwiązaniem następującego zadania:
Odcinek o długości 1 łamiemy losowo na dwie części, gdzie punkt łamania x ma rozkład jednostajny. Dłuższą część łamiemy na 2 części, również zgodnie z rozkładem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że można z nich zbudować trójkąt o obwodzie równym 1?
Będę wdzięczny za pomoc.
Pozdrawiam,
tesla
Prawdopodobieństwo zbudowania trójkąta
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Prawdopodobieństwo zbudowania trójkąta
Niech fragmentami odcinka będą nieujemne x,y,z takie że:
\(\displaystyle{ x+y+z=1}\)
W układzie XYZ rysuję tę płaszczyzną ograniczoną warunkami nieujemności współrzędnych. Daje o trójkąt równoboczny o końcach w punktach \(\displaystyle{ \left( 0,0,1\right) , \left( 0,1,0\right) i \left(1,0,0\right)}\)
Aby x,y,z tworzyły trójkąt to najdłuższy z nich musi być mniejszy (bądź także równy dla trójkąta o zerowym polu) od sumy pozostałych boków.
Sprawia to że:
\(\displaystyle{ 0 < x < \frac{1}{2} \wedge 0 < y < \frac{1}{2} \wedge 0 < z < \frac{1}{2}}\)
Ograniczenia te dziela uzyskany wczesniej trójkąt równoboczny na cztery równe trójkąty równoboczne z których tylko jeden spełnia warunki zadania.
Stąd poszukiwane prawdopodobieństwo wynosi 0,25
\(\displaystyle{ x+y+z=1}\)
W układzie XYZ rysuję tę płaszczyzną ograniczoną warunkami nieujemności współrzędnych. Daje o trójkąt równoboczny o końcach w punktach \(\displaystyle{ \left( 0,0,1\right) , \left( 0,1,0\right) i \left(1,0,0\right)}\)
Aby x,y,z tworzyły trójkąt to najdłuższy z nich musi być mniejszy (bądź także równy dla trójkąta o zerowym polu) od sumy pozostałych boków.
Sprawia to że:
\(\displaystyle{ 0 < x < \frac{1}{2} \wedge 0 < y < \frac{1}{2} \wedge 0 < z < \frac{1}{2}}\)
Ograniczenia te dziela uzyskany wczesniej trójkąt równoboczny na cztery równe trójkąty równoboczne z których tylko jeden spełnia warunki zadania.
Stąd poszukiwane prawdopodobieństwo wynosi 0,25