Wyznacz gęstość zmiennej losowej.

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Rudis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 6 sty 2014, o 13:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brak
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 17 razy

Wyznacz gęstość zmiennej losowej.

Post autor: Rudis »

Witam,
Mój problem :
Mam dwie niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ X , Y}\) o rozkładzie jednostajnym na odcinku \(\displaystyle{ (0,1)}\).
Wyznacz gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ \frac{X+Y}{2}}\).

Do czego doszedłem?

\(\displaystyle{ Z= \frac{X+Y}{2}}\)
\(\displaystyle{ F_{z} =P(X+Y \le 2t)}\)

Całka z gęstości po obszarze : \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} dx \int_{0}^{2t-x} dy=2t - \frac{1}{2}}\)

Liczę pochodną , która ostatecznie wynosi 2.
Wnioskuje , że gęstość \(\displaystyle{ Z}\) wynosi :

\(\displaystyle{ f_{z}= \begin{cases} 0 , t \le 0 ; t \ge 1 \\ 2 , 0\le t \le 1 \end{cases}}\)

Czy całka z tej gęstości ma się równać 1?
Słabo orientuje się w tych zadaniach i mam wrażenie , że to nie trzyma się kupy.Prosiłbym o wypowiedz na temat mojego "rozwiązania" oraz o pomoc w poprawnym rozwiązaniu problemu.
Ostatnio zmieniony 20 maja 2014, o 14:31 przez Rudis, łącznie zmieniany 2 razy.
miodzio1988

Wyznacz gęstość zmiennej losowej.

Post autor: miodzio1988 »

No gęstość MUSI się całkować do jedynki
Rudis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 6 sty 2014, o 13:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brak
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 17 razy

Wyznacz gęstość zmiennej losowej.

Post autor: Rudis »

Tutaj tak nie jest prawda? W czym tkwi mój błąd?
miodzio1988

Wyznacz gęstość zmiennej losowej.

Post autor: miodzio1988 »

No tak nie jest,. Całka w ogole nie widać po jakich zmiennych jest, wiec tutaj jest juz 1 bład
Rudis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 6 sty 2014, o 13:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brak
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 17 razy

Wyznacz gęstość zmiennej losowej.

Post autor: Rudis »

To tylko kwestia kosmetyczna , spowodowana pospiechem.Bardziej interesuje mnie aspekt merytoryczny.Jeżeli widzisz błąd to podziel się tym ze mną.
miodzio1988

Wyznacz gęstość zmiennej losowej.

Post autor: miodzio1988 »

Jesli masz trzy "zmienne" to podanie po czym całkujemy nie jest tylko estetyką.
Rudis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 6 sty 2014, o 13:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brak
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 17 razy

Wyznacz gęstość zmiennej losowej.

Post autor: Rudis »

Rozumiem , ale może już bez nabijania postów tylko konkrety.Nie potrafię zbytnio dyskutować na tematy związane z tym zadaniem dlatego poprosiłem o pomoc.Potrafisz wskazać błąd , pomóc ?
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Wyznacz gęstość zmiennej losowej.

Post autor: Kartezjusz »

Policz powolutku. Krok po kroku całkę z zadania, bo mało Cię kumam.
Rudis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 6 sty 2014, o 13:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brak
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 17 razy

Wyznacz gęstość zmiennej losowej.

Post autor: Rudis »

Całka z pierwszego postu to część wspólna kwadratu utworzonego z odcinków [0,1] na osi X i [0,1] na osi Y oraz obszaru \(\displaystyle{ X+Y \le 2t}\).Nie wiem co to dokładnie oznacza.
Jeżeli istnieje jakiś efektywny i co ważniejsze klarowny sposób na rozwiązanie tego zadanie to proszę o prezentacje wraz z możliwym wytłumaczeniem.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Wyznacz gęstość zmiennej losowej.

Post autor: Kartezjusz »

Ustal stałe \(\displaystyle{ t}\)
Rudis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 6 sty 2014, o 13:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brak
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 17 razy

Wyznacz gęstość zmiennej losowej.

Post autor: Rudis »

Szczerze , to nie wiem już co mam z tym zrobić więc proszę o rozwiązanie przykładu.Myśle ,że najlepiej na tym skorzystam.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Wyznacz gęstość zmiennej losowej.

Post autor: Kartezjusz »

Gdyby \(\displaystyle{ t}\) było na przykład równe \(\displaystyle{ 2}\), to co by to było?
lokas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 462
Rejestracja: 29 sty 2012, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 45 razy

Wyznacz gęstość zmiennej losowej.

Post autor: lokas »

Niech \(\displaystyle{ U=X+Y}\)
Liczymy splot dustrybuant
\(\displaystyle{ F_U (z)= \int_{-\infty}^{\infty} F_X (z-y) \mbox{d}F_Y (y)}\)
U nas będzie to
\(\displaystyle{ F_U (z)= \int_{0}^{1} F_X (z-y) \mbox{d}y}\)
Dla \(\displaystyle{ z \in \left( -\infty , 0\right)}\)
\(\displaystyle{ F_U (z)= \int_{0}^{1} F_X (z-y) \mbox{d}y=\int_{0}^{1} 0 \mbox{d}y=0}\)

Dla \(\displaystyle{ z in left[0 , 1
ight)}\)

\(\displaystyle{ F_U (z)= \int_{0}^{1} F_X (z-y) \mbox{d}y=\int_{0}^{z}\left( z-y\right) \mbox{d}y=\left[ zy- \frac{y^2}{2} \right] ^z _0= \frac{z^2}{2}}\)

Policz dalej sam dla \(\displaystyle{ z in left[1 , 2
ight)}\)
i \(\displaystyle{ z in left[2 , infty
ight)}\)

Na końcu skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ Z= \frac{U}{2}}\)
Rudis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 6 sty 2014, o 13:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brak
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 17 razy

Wyznacz gęstość zmiennej losowej.

Post autor: Rudis »

lokas dziękuję za rozwiązanie - nie rozumiem go.Nie znam pojęcia "splot dystrybuant".

Kartezjusz, gdyby t było równe 2 to całka z gęstości równała by sie 3 i 1/2. Wątpie czy o to Ci chodziło ale nie wiem co mógłbym jeszcze napisać na ten temat.
lokas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 462
Rejestracja: 29 sty 2012, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 45 razy

Wyznacz gęstość zmiennej losowej.

Post autor: lokas »

Pokaż jakie wyniki Ci wyszły to ewentualnie skorygujemy błędy.
ODPOWIEDZ