A więc mam małą prośbę, chyba coś źle zrozumiałem i robię źle, prosiłbym żeby ktoś zerknął i poprawił mnie, albo powiedział co dalej. Treść zadania to mam n niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie wykładniczym, mam udowodnić że zmienna losowa będąca ich sumą ma rozkład \(\displaystyle{ \Gamma (\lambda, n)}\) o gęstości i dystrybuancie (no i tu są podane)
Dystrybuantą się nie przejmuję, jak będę miał gęstość to już dalej dam sobie radę. Natomiast gęstość chcę robić indukcyjnie, tylko nie za bardzo ,,czuję" tą operację splotu. Załóżmy że gęstość sumy n zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym to \(\displaystyle{ g_{n}(x)=\frac{\lambda ^{n}x^{n-1} }{(n-1)!}e^{-\lambda x}\mathbf{1} _{(0,\infty)}(x)}\)
no i chcę zrobić splot tego z gęstością rozkładu wykładniczego, jak wyjdzie
\(\displaystyle{ g_{n+1}(x)=\frac{\lambda ^{n+1}x^{n} }{(n)!}e^{-\lambda x}\mathbf{1} _{(0,\infty)}(x)}\) to będzie ok. No więc z tego co zrozumiałem moja nowa gęstość powinna wyrażać się wzorem
\(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{\lambda ^{n}(x-y)^{n-1} }{(n-1)!}e^{-\lambda (x-y)}\mathbf{1} _{(0,\infty)}(x-y)\lambda e ^ {-\lambda y}dy =
\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{\lambda ^{n}(x-y)^{n-1} }{(n-1)!}e^{-\lambda x}e^{\lambda y}\mathbf{1}_{(0,\infty)}(x-y)\lambda e ^ {-\lambda y}dy =
\frac{\lambda ^{n+1} e ^ {-\lambda x }}{(n-1)!} \int\limits_{-\infty}^{x} (x-y)^{n-1} dy = \frac{\lambda ^{n+1} e ^ {-\lambda x }}{(n-1)!} \left [ \frac{(x-y)^n}{n} \right]_{-\infty}^{x}}\)
a to jest rozbieżne....
ps już znalazłem indykatora mi zabrakło