wyznaczyć dystrybuantę

[kalwi]

Na przestrzeni probabilistycznej \(\displaystyle{ (\Omega, \FF, \PP)}\), gdzie \(\displaystyle{ \Omega=\left\langle 0;2 \right\rangle \times \left\langle 0;2 \right\rangle}\) a \(\displaystyle{ \PP}\) jest prawdopodobieństwem geometrycznym, określona jest zmienna losowa \(\displaystyle{ X(x;y)= \frac{x+y}{2}}\). Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\). Czy \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład ciągły?

Od czego się zaczyna takie zadania? (no wiadomo, że rysunek, ale co potem?)

/to \(\displaystyle{ \FF}\) powinno trochę inaczej wyglądać, ale nie znam kodu w latexie

[lokas]

\(\displaystyle{ F_X \left( a\right)=P\left( X \le a\right)=P\left( \frac{x+y}{2} \le a\right) =P\left( y \le -x+2a\right)}\)

Teraz wystarczy obliczyć pola pod wykresami odpowiednich prostych i skorzystać z prawdopodobieństwa geometrycznego.

[kalwi]

no ta ta prosta będzie przecinać ten kwadrat w punktach \(\displaystyle{ (2a,0)}\) i \(\displaystyle{ (0,2a)}\) więc pole czegoś takiego to jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot 4a^2=2a^2}\)

no i oczywiście \(\displaystyle{ a \in \left\langle 0;2\right\rangle}\)

i teraz na dystrybuantę mam patrzeć w pionie jak rozumime (zawsze mi się to myli ;/)

Czyli dla \(\displaystyle{ a<0}\) to będzie po prostu \(\displaystyle{ 0}\), bo nic nie ma

dla \(\displaystyle{ a \ge 2}\) to bedzie 1, bo tak musi być.

Jakie przypadki pomiędzy muszę rozpatrzeć?