wykaż że jedno ze zdarzeń jest jest zdarzeniem pewnym

[mavi]

Para (Ω,P) jest przestrzenią probablistyczną (co to znaczy?) a ACΩ i BCΩ są zdarzeniami niezal. Wykaż, że jeżeli P(AUB)=1 to jedno z tych zdarzeń jest zdarzeniem pewnym tj P(A)=1 lub P(B)=1

[wb]

\(\displaystyle{ p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B) \\ 1=p(A)+p(B)-p(A)\cdot p(B) \\ 1-p(A)-p(B)+p(A)\cdot p(B)=0 \\ (1-p(A))-p(B)(1-p(A))=0 \\ (1-p(A))(1-p(B))=0 \\ 1-p(A)=0 1-p(B)=0 \\ p(A)=1 p(B)=1}\)

[kuch2r]

\(\displaystyle{ P(A\cup B)=1 A,B \mbox{ - niezalezne } P(A)=1 \ \ P(B)=1}\)
Rozwazmy:
\(\displaystyle{ 1=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}\)
Na podstawie niezaleznosc zdarzen zachodzi nastepujaca rownosc:
\(\displaystyle{ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}\)
Stad:
\(\displaystyle{ 1=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B)}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ (1-P(A))(1-P(B))=0}\)
\(\displaystyle{ 1-P(A)=0 \quad \quad 1-P(B)=0\\P(A)=1 \quad \quad P(B)=1}\)

... ilistyczna

[mavi]

nie rozumiem jak z P(A)+P(B)-P(A)P(B)=1 wyszło (1-P(A))(1-P(B))=0 :/

[soku11]

Przerzucone wszystko na jedna strone i dwa razy wyciagniete przed nawias.... POZDRO

[mgd]

To, że para \(\displaystyle{ (\Omega, P)}\) jest przestrzenią probabilistyczną oznacza, że mamy określoną (zadaną) przestrzeń zdarzeń elementarnych \(\displaystyle{ \Omega}\) i zadane na tych zdarzeniach elementarnych prawdopodobieństwa okreslone literką P.
probabilistyka = prawdopodobieństwo