Obliczanie średniej liczby wykonanych rzutów kostką

[thomenson]

Dzień dobry.
Rzucamy kostką dopóki nie wypadnie szóstka, ale nie więcej niż 20 razy. Wyznaczyć średnią liczbę wykonanych rzutów.
Zaczynam od zapisania wzoru na prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki za n-tym razem:
\(\displaystyle{ P(X=n)=(\frac{5}{6})^{n-1} \cdot \frac{1}{6}}\)
Następnie liczę wartość oczekiwaną:
\(\displaystyle{ $\mathbb{E}$X= \sum_{n=1}^{20}6 \cdot (\frac{5}{6})^{n-1} \cdot \frac{1}{6}}\)
I przeliczając to szybko w wolframie, dostaję w przybliżeniu 5,84, więc odpowiedzią byłoby 6 rzutów.
Czy moje rozumowanie jest poprawne? Widziałem rozwiązanie, w którym 20 składnik wygląda tak:
\(\displaystyle{ P(X=20)=(\frac{5}{6})^{19} \cdot \frac{1}{6}+(\frac{5}{6})^{20}}\)
I ostatecznie, po uwzględnieniu drugiego składnika, wynik byłby okrągłą szóstką. Które rozwiązanie jest poprawne i dlaczego?

[Althorion]

Dwadzieścia rzutów wykonasz w dwóch przypadkach: gdy po pierwszych nieudanych dziewiętnastu rzutach wyrzucisz wreszcie szóstkę (pierwszy składnik) bądź gdy rzut nie uda się dwadzieścia razy z rzędu (drugi składnik).