P-stwo, że stoją w danej kolejności

[Suomka]

Na półce stoi 30 książek, wśród nich jest trylogia Sienkiewicza. Znajdź prawdopodobieństwo, że Ogniem i mieczem, Potop i Pan Wołodyjowski stoją w takim właśnie porządku, choć niekoniecznie obok siebie. Bardzo proszę o pomoc, jak ugryźć ten problem.
Wiadomo, że:
\(\displaystyle{ |\Omega|=30!}\)

[lokas]

Chyba trzeba liczyć na piechotę. Ustawiasz najpierw dwie pierwsze i patrzysz ile jest możliwości ustawienia trzecie, czyli od początku:
\(\displaystyle{ 1,2,\dots}\) -Ogniem i mieczem na pierwszym miejscu, Potop na drugim i Pan Wołodyjowski na późniejszym miejscu, w sumie \(\displaystyle{ 28}\) możliwości
\(\displaystyle{ 1,3,\dots \left| 27}\) możliwości
\(\displaystyle{ \dots}\)
\(\displaystyle{ 1,29,30\left| 1}\) możliwość
W sumie takich ułożeń, że Ogniem i mieczem jest na pierwszym miejscu jest \(\displaystyle{ 28+27+\dots +1= {29 \choose 2}}\)
Analogicznie takich możliwości, że Ogniem i mieczem jest na drugim miejscu jest \(\displaystyle{ 27+26+\dots +1= {28 \choose 2}}\)
Wnioskując tak dalej mamy, że wszystkich zdarzeń sprzyjających jest \(\displaystyle{ {29 \choose 2}+{28 \choose 2}+\dots+{2\choose 2}=4060}\)

Możesz sprawdzić, cz się gdzieś w obliczeniach nie pomyliłem.

[klaustrofob]

lepiej tak: wkładamy trzy tomy trylogii do pudełka. mamy teraz 28 książek - 27 obcych i pudełko, co można uporządkować na \(\displaystyle{ 28!}\) sposobów. teraz jeszcze trzeba uwzględnić możliwość przestawiania książek w pudełku \(\displaystyle{ 3!}\) mamy zatem \(\displaystyle{ 28!\cdot 3!}\) możliwych uporządkowań

[lokas]

lepiej tak: wkładamy trzy tomy trylogii do pudełka. mamy teraz 28 książek - 27 obcych i pudełko, co można uporządkować na \(\displaystyle{ 28!}\) sposobów. teraz jeszcze trzeba uwzględnić możliwość przestawiania książek w pudełku \(\displaystyle{ 3!}\) mamy zatem \(\displaystyle{ 28!\cdot 3!}\) możliwych uporządkowań

Chyba nie o to zdarzenie chodziło

[klaustrofob]

lepiej tak: wkładamy trzy tomy trylogii do pudełka. mamy teraz 28 książek - 27 obcych i pudełko, co można uporządkować na \(\displaystyle{ 28!}\) sposobów. teraz jeszcze trzeba uwzględnić możliwość przestawiania książek w pudełku \(\displaystyle{ 3!}\) mamy zatem \(\displaystyle{ 28!\cdot 3!}\) możliwych uporządkowań

Chyba nie o to zdarzenie chodziło

a tak, przepraszam

[norwimaj]

Każda kolejność jest jednakowo prawdopodobna, a jest ich \(\displaystyle{ 3!=6}\) (zakładając, że każda z trzech książek mieści się w jednym tomie). Zatem właściwą kolejność uzyskamy z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac16}\).

[klaustrofob]

Każda kolejność jest jednakowo prawdopodobna, a jest ich \(\displaystyle{ 3!=6}\) (zakładając, że każda z trzech książek mieści się w jednym tomie). Zatem właściwą kolejność uzyskamy z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac16}\).

[norwimaj]

A jeśli ktoś chce mieć \(\displaystyle{ |\Omega|=30!}\), (nie \(\displaystyle{ \Omega=30!}\)) to niech spośród trzydziestu miejsc wybierze trzy, na nich umieści wybrane książki we właściwej kolejności, a następnie rozmieści dowolnie pozostałe książki. Wtedy mamy prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{\binom{30}3\cdot1\cdot27!}{30!}}\).