symetryczne błądzenie losowe

[az07]

Niech \(\displaystyle{ Y_1, Y_2, \ldots , Y_n}\) będą zmiennymi losowymi o wartościach w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ -1,1\right\}}\) takimi, że \(\displaystyle{ P(Y_i=-1)=P(Y_i=1)=1/2}\). Niech \(\displaystyle{ S(n)=Y_1+Y_2+ \ldots +Y_n}\) oraz niech \(\displaystyle{ S(0)=0}\) z prawdopodobieństwem równym \(\displaystyle{ 1}\). Wtedy \(\displaystyle{ {\left\{ S(n): n>=0\right\} }}\) jest symetrycznym błądzeniem losowym. Punkt \(\displaystyle{ (n,S(n))}\) jest naszym położeniem w \(\displaystyle{ n}\)-tym kroku.
Ile wynosi \(\displaystyle{ P(S(12)=8))}\)?

[kerajs]

Czyli w 12 krokach było 10 jedynek i dwie -1
\(\displaystyle{ P= {12 \choose 10} \frac{1}{2} ^{10} \frac{1}{2} ^{2} = \frac{33}{2048}}\)