Kule w urnie

[leszczu450]

Cześć !

W urnie znajdują się kule czarne i białe. Jest ich \(\displaystyle{ n}\). Losujemy dwa razy bez zwracania. Ile powinno być kul czarnych żeby prawdopodobieństwo wylosowania dwóch różnokolorowych kul było takie samo jak prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru.

Oznaczam:

\(\displaystyle{ n}\)- liczba kul
\(\displaystyle{ b}\)- liczba białych kul
\(\displaystyle{ n-b}\)- liczba czarnych kul

I ponownie mam problem w takiej sytuacji. Liczę prawdopodobieństwo wyjęcia dwóch kul tego samego koloru. Jest ono równe:

\(\displaystyle{ \frac{ {b \choose 2} + {n-b \choose 2} }{ {n \choose 2} }}\)

Teraz licze prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul różnego koloru. To będzie:

\(\displaystyle{ \frac{ {b \choose 1} {n-b \choose 1} }{ {n \choose 2} }}\)

I nie wiem czy licznik mam przemnożyć przez \(\displaystyle{ 2}\), czy też zostawić tak jak napisałem? Kolejność nie jest istotna ale z drugiej strony jakbym wyjmował kule jedną po drugiej to \(\displaystyle{ B, C}\) byłoby czym innym niż \(\displaystyle{ C, B}\) ale wtedy też przestrzenią probabilistyczną byłoby co innego. Już się w tym gubię... Proszę kogoś o solidne wytłumaczenie.

Z góry dziękuję za pomoc.

[pyzol]

Nie ma różnicy. Te modele są spokrewnione ze sobą. W drugim modelu wszystkiego wyjdzie Ci 2 razy więcej.

[leszczu450]

pyzol, czyli jeśli modelem będą u mnie pary nieuporządkowane- zbiory to tak jak napisałem jest ok.

A jeśli modelem będą uporządkowane ciągi, to wszystkich możliwości wyjęcia dwóch kul mam \(\displaystyle{ n(n-1)}\), zaś zdarzenie wylosowania dwóch różnych kul ma moc \(\displaystyle{ 2b(n-b)}\) ?

[pyzol]

Tak.
Zdarzenia są przeciwne więc łatwiej będzie sprawdzić, kiedy zdarzenie wylosowania dwóch różnych będzie równe połowie.

[leszczu450]

pyzol, połowie? Nie rozumiem.