prawdopodobieństwo warunkowe

[leszczu450]

Cześć !

Z badań genealogicznych wynika, że kobieta jest nośnikiem hemofilii z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\). Jeżeli kobieta jest nośnikiem hemofilii, to każdy jej syn dziedziczy te chorobę z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,5}\). Kobieta, która nie jest nośnikiem hemofilii rodzi zdrowych synów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że drugi syn będzie zdrowy, jeśli pierwszy syn jest zdrowy.

Oznaczam:
\(\displaystyle{ H_1}\)- kobieta jest nośnikiem hemofilii
\(\displaystyle{ H_2}\)- kobieta nie jest nośnikiem hemofilii
\(\displaystyle{ S_1}\)- pierwszy syn jest zdrowy
\(\displaystyle{ S_2}\)- drugi syn jest zdrowy

Tutaj wydaje mi się, że zdarzenia są niezależne. To znaczy, to że pierwszy syn jest chory nie ma wpływu na to czy drugi jest chory. Stąd wydaje mi się, że:

\(\displaystyle{ P(S_2|S_1)=P(S_2)}\)

a co za tym idzie:


\(\displaystyle{ P(S_2)= P(S_2 | H_1) \cdot P(H_1) + P(S_2|H_2) \cdot P(H_2)= \frac{1}{2}p + 0 \cdot \left( 1-p\right) = \frac{1}{2}p}\)

Czy to jest prawidłowo rozwiązane zadanie?

Z góry dziękuję.

[miodzio1988]

Opcja szukaj:

363728.htm

nawet sam w tym temacie się wypowiadales...

[leszczu450]

miodzio1988, tak, znam tamten temat. Ale zastanawiam się teraz dlaczego u mnie w tym rozwiązaniu jest błąd.

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}p}\) to dlatego bo prawdopodobienstwo że syn jest zdrowy jest równe prawdopodobienstwowi ze dziedziczy chorobe. I dla obu synów prawdopodobienstwa sa niezalezne wiec
\(\displaystyle{ P(A \cap B|H_{1})P(H_{1})=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}p}\)
W przypadku kobiety która nie jest nosnikiem hemofili mamy:
\(\displaystyle{ P(A \cap B|H_{2})P(H_{2})=1(1-p)}\) bo zawsze rodzi zdrowych synów

Przecież wszystko masz napisane. Porównaj różnicę i zobaczysz wtedy swoje ewentualne bledy

[leszczu450]

miodzio1988, tyle, że ja w moim zadaniu liczę \(\displaystyle{ P(S_2|S_1)}\). A w tamtym temacie autor liczy \(\displaystyle{ P(S_1 \cap S_2)}\). I chyba już tutaj coś robię źle. Ale nie wiem dlaczego.

[miodzio1988]

A jak zamienimy to na pstwo warunkowe u autora to bedziemy mieli dobrze reszte?

[leszczu450]

miodzio1988, ale że co chcesz zamieniać?-- 6 maja 2014, o 15:05 --PS: Zrobiłem literówkę w pierwszym poście. Powinno być:

\(\displaystyle{ P(S_2)= P(S_2 | H_1) \cdot P(H_1) + P(S_2|H_2) \cdot P(H_2)= \frac{1}{2}p + 1 \cdot \left( 1-p\right) = \frac{1}{2}p}\)

Więc pytam - co jest tutaj źle?

[miodzio1988]

miodzio1988, ale że co chcesz zamieniać?

-- 6 maja 2014, o 15:05 --

PS: Zrobiłem literówkę w pierwszym poście. Powinno być:

\(\displaystyle{ P(S_2)= P(S_2 | H_1) \cdot P(H_1) + P(S_2|H_2) \cdot P(H_2)= \frac{1}{2}p + 1 \cdot \left( 1-p\right) = \frac{1}{2}p}\)

Więc pytam - co jest tutaj źle?

Np ostatnia równość jest do bani...moglbys to sprawdzac zanim wyslesz?

[leszczu450]

Głupia jedynka : )

Powinno być oczywiście:

\(\displaystyle{ 1- \frac{1}{2} p}\)

[miodzio1988]

Brakuje Ci teraz jednego składnika z tym co masz w linku.

[leszczu450]

miodzio1988, no ale przecież wzór na prawdopodobieństwo całkowite z którego tutaj korzystam jest kompletny i nic w nim nie brakuje. O co więc chodzi?

[miodzio1988]

Myśl

Składnik po składniku analizuj i zobacz czym się różni Twoje rozwiązanie. Końcówka jest taka sama, ale początek...

[leszczu450]

Błąd zatem musi być tutaj \(\displaystyle{ P(S_2 | H_1) \cdot P(H_1)}\)

Czyli słownie: prawdopodobieństwo, że drugi syn jest chory pod warunkiem, że mama jest chora. I to przemnożone przez prawdopodobieństwo tego, że mama choruje.

\(\displaystyle{ P(H_1)}\) jasne, że to będzie \(\displaystyle{ p}\). Ale dlaczego \(\displaystyle{ P(S_2|H_1)= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}\)...

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}p}\) to dlatego bo prawdopodobienstwo że syn jest zdrowy jest równe prawdopodobienstwowi ze dziedziczy chorobe. I dla obu synów prawdopodobienstwa sa niezalezne wiec
\(\displaystyle{ P(A \cap B|H_{1})P(H_{1})=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}p}\)
W przypadku kobiety która nie jest nosnikiem hemofili mamy:
\(\displaystyle{ P(A \cap B|H_{2})P(H_{2})=1(1-p)}\) bo zawsze rodzi zdrowych synów

Przecież wszystko masz napisane. Porównaj różnicę i zobaczysz wtedy swoje ewentualne bledy

Tak mi się zdaje, że tutaj może być to napisane. masz ogólnie iloczyn, a wypisujesz jeden składnik, więc coś nie halo jest

[leszczu450]

Po prostu moje rozumowanie się nieco rozwala bo wzór o którym mówimy sprowadziłem do postaci w której nie ma ani słowa o chorobie/zdrowiu pierwszego syna.