Hej mam dylemat dlaczego w rozwiązaniu występuje pewne przejście, proszę o jak najprostsze wytłumaczenie i z góry dziękuje
Zad. Pokazać, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b\in \mathb{R}}\)
\(\displaystyle{ (a+b)^n= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{n-k}b^k}\)
Rozwiązanie
\(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ L=a+b}\)
\(\displaystyle{ P= \sum_{k=0}^{1}a^{1-k}b^k=a+b}\)
\(\displaystyle{ L=P}\)
\(\displaystyle{ (a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^{n}=(a+b) \sum_{k=0}^{k} {n \choose k} a^{n-k}b^k= \\=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{n+1-k}b^k+ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{n-k}b^{k+1}= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{n+1-k}b^k+ \sum_{k=1}^{n+1} {n \choose k-1}a^{n+1-k}b^k=\\ \mbox{w tym miejscu nie rozumiem równości} \\= a^{n+1}+b^{n+1}+ \sum_{k=1}^{n}a^{n+1-k}b^k\left( {n \choose k} + {n \choose k-1} \right)=a^{n+1}+b^{n+1}+ \sum_{k=1}^{n} {n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^k= \sum_{k=2}^{n+1} {n+1 \choose k}a^{n+1-l}b^k}\)
Czemu takie przejście?
-
karolcia_23
- Użytkownik
- Posty: 445
- Rejestracja: 19 sie 2013, o 17:07
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 99 razy
Czemu takie przejście?
Ostatnio zmieniony 6 maja 2014, o 00:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Łam za długie linie.
Powód: Łam za długie linie.
-
ravgirl
- Użytkownik
- Posty: 171
- Rejestracja: 29 gru 2013, o 17:41
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Pruszków
- Pomógł: 64 razy
Czemu takie przejście?
Zwróć uwagę na granice sumowania. Pierwsza suma jest od \(\displaystyle{ k=0}\) do \(\displaystyle{ k =n}\). Druga od \(\displaystyle{ k=1}\) do \(\displaystyle{ k=n+1}\). Dążymy tutaj do tego, żeby obie sumy miały te same granice, żeby można było zapisać je jako jedną sumę. Tutaj wspólną częścią będzie suma od \(\displaystyle{ k=1}\) do \(\displaystyle{ k=n}\).
Co z pozostałymi wyrazami? Żeby doprowadzić do takiej postaci, z pierwszej sumy musimy wyłączyć składnik dla \(\displaystyle{ k=0}\). Składnik ten to:
\(\displaystyle{ {n \choose 0} a^{n+1-0}b^0 = 1 \cdot a^{n+1}\cdot 1 = a^{n+1}}\)
Pierwszą sumę można więc zapisać tak:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{n+1-k}b^k = a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} {n \choose k} a^{n+1-k}b^k}\)
Czyli wartość dla \(\displaystyle{ k=0}\) plus reszta sumy.
Analogicznie, z drugiej sumy wyciągnięty jest składnik dla \(\displaystyle{ k=n+1}\) (spróbuj policzyć ile wynosi ). Później, ponieważ obie sumy mają te same granice sumowania, możemy zapisać je jako jedną sumę, dodatkowo wyciągając przed nawias \(\displaystyle{ a^{n+1-k}b^k}\).
Co z pozostałymi wyrazami? Żeby doprowadzić do takiej postaci, z pierwszej sumy musimy wyłączyć składnik dla \(\displaystyle{ k=0}\). Składnik ten to:
\(\displaystyle{ {n \choose 0} a^{n+1-0}b^0 = 1 \cdot a^{n+1}\cdot 1 = a^{n+1}}\)
Pierwszą sumę można więc zapisać tak:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{n+1-k}b^k = a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} {n \choose k} a^{n+1-k}b^k}\)
Czyli wartość dla \(\displaystyle{ k=0}\) plus reszta sumy.
Analogicznie, z drugiej sumy wyciągnięty jest składnik dla \(\displaystyle{ k=n+1}\) (spróbuj policzyć ile wynosi ). Później, ponieważ obie sumy mają te same granice sumowania, możemy zapisać je jako jedną sumę, dodatkowo wyciągając przed nawias \(\displaystyle{ a^{n+1-k}b^k}\).