Gra - rzucanie monetą

[Ketaiwk]

Hej
W książce W. Fellera w pierwszym rozdziale można znaleźć zadanie:

Rzucamy monetą tak długo, aż w dwu kolejnych rzutach powtórzy się ta sama strona. Każdemu z możliwych wyników, wymagającemu \(\displaystyle{ n}\) rzutów, przypisujamy prawdopodobieńśtwo \(\displaystyle{ \frac{1}{2^n}}\). Opisać przestrzeń próbek. Znaleźć prawdopodobieństwo następujących zdarzeń: a. doświadczenie kończy się przed szóstym rzutem, b. potrzebna jest parzysta liczba rzutów.

Moje rozwiązanie - Przestrzeń próbek to dwa ciągi. Pierwszy, gdzie wygrywa orzeł - O i drugi, gdzie wygrywa reszka -R.

OO, ROO, OROO, ROROO, ...
RR, ORR, RORR, ORORR, ...

Przypadek (a), to suma prawdopodobieństw wszystkich ciągów, których długość jest mniejsza niż 6, czyli wszystkie które wypisałem.

\(\displaystyle{ \frac{2}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{2}{2^4}+\frac{2}{2^5}=\frac{\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^4}{1-\frac{1}{2}}=\frac{7}{8}}\)

W (b) sumuję prawdopodobieństwa ciągów o parzystej długości

\(\displaystyle{ \frac{2}{2^2}+\frac{2}{2^4}+\frac{2}{2^6}+\cdots=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}}\)

Wyniki w książce - a) \(\displaystyle{ \frac{15}{16}}\), b) - \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\).

O ile (b) wydaje się OK, to (a) jest źle (lub jest błąd w książce). Jeżeli uwzględnię ciągi o długości 6, to uzyskam wynik z książki. Gdzie jest błąd?

[norwimaj]

\(\displaystyle{ \frac{2}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{2}{2^4}+\frac{2}{2^5}=\frac{\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^4}{1-\frac{1}{2}}=\frac{7}{8}}\)

To nie jest dobrze obliczone.

[Ketaiwk]

Racja.

\(\displaystyle{ \frac{2}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{2}{2^4}+\frac{2}{2^5}=\frac{\frac{1}{2}\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^4\right)}{1-\frac{1}{2}}=\frac{15}{16}}\)

Dzięki