prawdopodobieństwo warunkowe- kolejka

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
leszczu450
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

prawdopodobieństwo warunkowe- kolejka

Post autor: leszczu450 »

Cześć !

Grupa \(\displaystyle{ n}\) osób wśród których są osoby \(\displaystyle{ X, Y, Z}\) ustawiają się losowo w kolejce. Jakie jest prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ X}\) stoi bezpośrednio przez \(\displaystyle{ Y}\) , jeśli \(\displaystyle{ Y}\) stoi bezpośrednio przez \(\displaystyle{ Z}\) ?


Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ A}\)- zdarzenie, gdzie \(\displaystyle{ X}\) stoi bezpośrednio przez \(\displaystyle{ Y}\)
\(\displaystyle{ B}\)- zdarzenie, gdzie \(\displaystyle{ Y}\) stoi bezpośrednio przez \(\displaystyle{ Z}\)

Muszę policzyć \(\displaystyle{ P(A|B)}\). Czyli z definicji: \(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}}\)

Liczę \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\). To będzie zdarzenie, gdzie wybrana trójka stoi tak: \(\displaystyle{ XYZ}\). Gdy mam \(\displaystyle{ n}\) miejsc to taką trójkę mogę posadzić na \(\displaystyle{ n-2}\) sposoby. I nie permutuje ich , bo kolejność jest ważna. Resztę osób ustawiam na \(\displaystyle{ (n-3)!}\) sposobów. Zatem \(\displaystyle{ P(A\cap B)= \frac{(n-2)(n-3)!}{n!}}\)

Liczę \(\displaystyle{ P(B)}\). To będzie zdarzenie, gdzie występuje taka konfiguracja\(\displaystyle{ XY}\). Tę dwójkę mogę postawić na \(\displaystyle{ n-1}\) sposobów . Pozostałe osoby ustawiam na \(\displaystyle{ (n-2)!}\) sposobów. Zatem \(\displaystyle{ P(B)= \frac{(n-1)(n-2)!}{n!}}\)

Stąd \(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{\frac{(n-2)(n-3)!}{n!} }{ \frac{(n-1)(n-2)!}{n!}}= \frac{(n-2)(n-3)!}{(n-1)(n-2)!}= \frac{1}{n-1}}\)

Czy to jest prawidłowy wynik?
Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

prawdopodobieństwo warunkowe- kolejka

Post autor: klaustrofob »

tak. można to sprawdzić jeszcze inaczej - jeżeli już wiadomo, że w kolejce mamy układ YZ, to albo YZ stoją na początku, albo ktoś ich poprzedza - jest tu \(\displaystyle{ n-1}\) możliwości. sprzyja nam natomiast tylko jedna - gdy X poprzedza YZ. stąd prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{n-1}}\)
ODPOWIEDZ