Cześć !
Grupa \(\displaystyle{ n}\) osób wśród których są osoby \(\displaystyle{ X, Y, Z}\) ustawiają się losowo w kolejce. Jakie jest prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ X}\) stoi bezpośrednio przez \(\displaystyle{ Y}\) , jeśli \(\displaystyle{ Y}\) stoi bezpośrednio przez \(\displaystyle{ Z}\) ?
Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ A}\)- zdarzenie, gdzie \(\displaystyle{ X}\) stoi bezpośrednio przez \(\displaystyle{ Y}\)
\(\displaystyle{ B}\)- zdarzenie, gdzie \(\displaystyle{ Y}\) stoi bezpośrednio przez \(\displaystyle{ Z}\)
Muszę policzyć \(\displaystyle{ P(A|B)}\). Czyli z definicji: \(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}}\)
Liczę \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\). To będzie zdarzenie, gdzie wybrana trójka stoi tak: \(\displaystyle{ XYZ}\). Gdy mam \(\displaystyle{ n}\) miejsc to taką trójkę mogę posadzić na \(\displaystyle{ n-2}\) sposoby. I nie permutuje ich , bo kolejność jest ważna. Resztę osób ustawiam na \(\displaystyle{ (n-3)!}\) sposobów. Zatem \(\displaystyle{ P(A\cap B)= \frac{(n-2)(n-3)!}{n!}}\)
Liczę \(\displaystyle{ P(B)}\). To będzie zdarzenie, gdzie występuje taka konfiguracja\(\displaystyle{ XY}\). Tę dwójkę mogę postawić na \(\displaystyle{ n-1}\) sposobów . Pozostałe osoby ustawiam na \(\displaystyle{ (n-2)!}\) sposobów. Zatem \(\displaystyle{ P(B)= \frac{(n-1)(n-2)!}{n!}}\)
Stąd \(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{\frac{(n-2)(n-3)!}{n!} }{ \frac{(n-1)(n-2)!}{n!}}= \frac{(n-2)(n-3)!}{(n-1)(n-2)!}= \frac{1}{n-1}}\)
Czy to jest prawidłowy wynik?
prawdopodobieństwo warunkowe- kolejka
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
- klaustrofob
- Użytkownik
- Posty: 1984
- Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inowrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 607 razy
prawdopodobieństwo warunkowe- kolejka
tak. można to sprawdzić jeszcze inaczej - jeżeli już wiadomo, że w kolejce mamy układ YZ, to albo YZ stoją na początku, albo ktoś ich poprzedza - jest tu \(\displaystyle{ n-1}\) możliwości. sprzyja nam natomiast tylko jedna - gdy X poprzedza YZ. stąd prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{n-1}}\)