Paradoks kawalera de Mere

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 2 maja 2014, o 17:57

Cześć !

Zadanie brzmi następująco:

Co jest bardziej prawdopodobne: otrzymanie co najmniej jednej jedynki przy rzucie \(\displaystyle{ 4}\) kostek, czy co najmniej raz dwóch jedynek na obu kostkach przy \(\displaystyle{ 24}\) rzutach obu kostek?

Liczę najpierw prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego pierwszej sytuacji. Czli p-stwo zdarzenia, że nie będzie ani jednej jedynki przy rzucie czterema kostkami. Mam: \(\displaystyle{ 1- \left( \frac{5}{6} \right) ^{4} \approx 0,5177}\)

Nie wiem jak policzyć p-stwo zajścia drugiego zdarzenia. Czym w ogóle będzie wtedy Omega?

Z góry dziękuję!

Kaf · Post autor: **Kaf** » 2 maja 2014, o 18:21

Rzucamy 24 razy dwoma kostkami. Ile jest możliwych wyników?

Althorion · Post autor: **Althorion** » 2 maja 2014, o 18:24

Drugi przypadek łatwiej Ci będzie rozważyć jako powtarzające się zdarzenie. Szansa przy pojedynczym rzucie dwoma kościami na wyrzucenie dwóch jedynek to \(\displaystyle{ \frac{1}{36}}\), zdarzeniem przeciwnym jest porażka 24 razy z rzędu.

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 2 maja 2014, o 18:27

Kaf, już chyba to rozgryzłem. Rzucam \(\displaystyle{ 24}\) razy dwiema kostkami. Za każdym rzutem mam \(\displaystyle{ 36}\) różnych opcji. Zatem wszystkich możliwych opcji jest \(\displaystyle{ 36^{24}}\)- zgodnie z regułą mnożenia. I teraz liczę zdarzenie przeciwne. Czyli w żadnym z rzutów nie mogę mieć dwóch jedynek. Czyli \(\displaystyle{ 1 - \frac{{35}^{24}}{{36}^{24}} \approx 0,4914}\). Powinno być dobrze teraz : )

Kaf · Post autor: **Kaf** » 2 maja 2014, o 18:29

Zgadza się.

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 2 maja 2014, o 18:33

Kaf, i mam pytanie od autora książki: Warto się zastanowić, dlaczego de Mere mógł uważać oba prawdopodobieństwa za równe. Hmm , może nie obliczył tego dokładnie, bo się pomylił przy podnoszeniu do takich wysokich potęg ?

Kaf · Post autor: **Kaf** » 2 maja 2014, o 18:47

Może pomyślał, że skoro ma teraz 6 razy więcej możliwych wyników, to wystarczy, że będzie sześć razy dłużej rzucał?

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 2 maja 2014, o 18:55

pamiętajcie, że w tamtych czasach nie było czegoś takiego, jak rachunek prawdopodobieństwa. klasyczna definicja to początek XIX wieku (Laplace). problem de Mera rozwiązali Pascal i Fermat, którzy dopiero tworzyli pojęcia, bazując na intuicjach. gracze w ogóle robili wszystko "na czuja", to agent 007 kalkuluje sobie i wychodzi mu, że w długiej serii gier powinien wyjść na swoje. jeszcze dziś na pytanie, ile jest możliwych wyników rzutu dwoma monetami niektórzy odpowiadają: "trzy" - oo, or, rr