Listy w skrzynkach

[leszczu450]

Cześć !

Listonosz losowo rozmieszcza \(\displaystyle{ 7}\) listów w \(\displaystyle{ 5}\) różnych skrzynkach na listy. Oblicz prawdopodobieństwo, że w każdej skrzynce znajdzie się przynajmniej jeden list.

Moje rozwiązanie: Wszystkich możliwych rozmieszczeń listów w skrzynkach jest \(\displaystyle{ \left| \Omega\right| = 5^7}\)

Zdarzenie sprzyjające. Albo w jednej skrzynce będą \(\displaystyle{ 3}\) listy, a w pozostałych po jednym, albo druga opcja- w dwóch skrzynkach będą po \(\displaystyle{ 2}\) listy, a w pozostałych skrzynkach po jednym liście.

Liczę więc pierwszą sytuację. Wybieram sobie \(\displaystyle{ 3}\) listy z \(\displaystyle{ 7}\) na \(\displaystyle{ {7 \choose 3}}\) sposobów. Każda taka trójka może trafić do jednej z \(\displaystyle{ 5}\) skrzynek. Pozostałe listy wkładam na \(\displaystyle{ 4!}\) sposobów. Stąd : \(\displaystyle{ \left| A_1\right|= {7 \choose 3} \cdot 5 \cdot 4!}\)

Liczę drugi wariant. Tutaj robię najprawdopodobniej błąd. Wybieram dwa listy z siedmiu na \(\displaystyle{ {7 \choose 2}}\) sposobów i umieszczam je na \(\displaystyle{ 5}\) sposobów. Dalej wybieram kolejne dwa listy z pięciu i mają one tym razem cztery skrzynki do wyboru więc to będzie: \(\displaystyle{ {5 \choose 2} \cdot 4}\). Kolejne trzy listy wkladam na \(\displaystyle{ 3!}\) sposobów. Stąd: \(\displaystyle{ \left| A_2\right|= {7 \choose 2} \cdot 5 \cdot {5 \choose 2} \cdot 4 \cdot 3!}\)

Wystarczy teraz posumować i mam wynik: \(\displaystyle{ P(A)= \frac{{7 \choose 3} \cdot 5 \cdot 4! +{7 \choose 2} \cdot 5 \cdot {5 \choose 2} \cdot 4 \cdot 3! }{5^7}}\)

Gdzie robię błąd?

Z góry dzięki!-- 2 maja 2014, o 14:51 --Wydaje mi się że w drugiej sytuacji zliczam podwójnie. Jeśli listy ponazywam \(\displaystyle{ A, B, C, D, E, F, G}\) , tutaj używam literki \(\displaystyle{ A}\) ale nie ma ona związku ze zdarzeniem sprzyjającym -lekka kolizja oznaczeń. I jak tak nazwę te listy to według mojego sposobu zliczania sytuacje:

\(\displaystyle{ AB, CD, E, F, G}\)
\(\displaystyle{ CD, AB, E, F, G}\)

są dwiema różnymi. I tak chyba powinno być, co nie?

[klaustrofob]

wybieram 5 z 7 po to, by zapełnić skrzynki: \(\displaystyle{ {7 \choose 5}}\). teraz je permutuję - \(\displaystyle{ {7 \choose 5}\times 5!}\). teraz dwa warianty: pierwszy - jedną ze skrzynek dopełniam (wybraną na \(\displaystyle{ {5 \choose 1}}\) sposobów) dopełniam dwoma listami; drugi - dwie skrzynki (wybrane na \(\displaystyle{ {5 \choose 2 }}\) sposobów) dopełniam pojedynczo listami, uwzględniając ich kolejność. koniec końców, mam: \(\displaystyle{ {7 \choose 5 } \times 5!\times ({5 \choose 1} + {5 \choose 2}\times 2!)}\) sposobów

[leszczu450]

klaustrofob, kompletnie Cię nie rozumiem.

[klaustrofob]

klaustrofob, kompletnie Cię nie rozumiem.

7 listów, 5 skrzynek. wybieram po jednym liście do każdej skrzynki: \(\displaystyle{ {7 \choose 5}\times 5!}\) - ok?
teraz 2 listy muszę rozmieścić w 5 skrzynkach. mogę to zrobić albo pakując je oba do jednej skrzynki (5 możliwości), albo wybieram dwie skrzynki z 5, i wrzucę do nich po jednym liście.

[leszczu450]

7 listów, 5 skrzynek. wybieram po jednym liście do każdej skrzynki: \(\displaystyle{ {7 \choose 5}\times 5!}\) - ok?

Nie rozumiem. Jakie zdarzenie tutaj opisujesz? Co do czego wkładasz i w jakiej ilości?

[Mathix]

Z siedmiu listów wybiera pięć, które umieści w skrzynkach na \(\displaystyle{ {7 \choose 5}}\) sposobów. Mając pięć listów możemy je ułożyć w pięciu skrzynkach na \(\displaystyle{ 5!}\) sposobów.

[leszczu450]

Mathix, to umieszczamy na \(\displaystyle{ 5!}\) sposobów czy na \(\displaystyle{ {7 \choose 5}}\) sposobów ? Bo Twoja wiadomość jest sprzeczna.

[Mathix]

Nie jest. Najpierw wybierasz 5 listów z 7, ale po ich wybraniu możesz jeszcze je poprzekładać ze skrzynki do skrzynki.

[leszczu450]

Mathix, ale o jakim zdarzeniu w ogóle mowa? Bo ja kompletnie nie wiem do czego się odnosicie.-- 2 maja 2014, o 16:49 --

Z siedmiu listów wybiera pięć, które umieści w skrzynkach na \(\displaystyle{ {7 \choose 5}}\) sposobów. Mając pięć listów możemy je ułożyć w pięciu skrzynkach na \(\displaystyle{ 5!}\) sposobów.

Ja nadal uważam, że tutaj jest coś pokręcone.

[klaustrofob]

Ja nadal uważam, że tutaj jest coś pokręcone.

wybieram jeden list, wkładam go do skrzynki numer 1; wybieram drugi i wkładam do skrzynki nr 2... itd czyli wybrałem 5 listów z 7 - wkładając je tak, zagwarantowałem sobie, że żadna skrzynka nie zostanie pusta. teraz idzie drugi etap.

[leszczu450]

klaustrofob, ale po co my to tak robimy? Nie możemy wrócić do mojego rozwiązania i sprawdzenia co tam jest źle w tej drugiej sytuacji? Przecież tam jest jakiś błąd. Nigdzie indziej.

[klaustrofob]

a robisz błąd? nie widzę, gdzie. bo moje liczenie jest do bani - przepraszam za zamęt

[leszczu450]

klaustrofob, no mówię przecież, że robię błąd w tej drugiej sytuacji gdzie wkładam dwa razy po dwa listy i potem po jednym. : )

[klaustrofob]

przepraszam Cię leszczu45o, ale jeśli robisz błąd i wiesz, w którym miejscu, to czemu go robisz? opisane przez Ciebie sytuacje: AB, CD, E, F, G oraz CD, AB, E, F, G są istotnie różne i powinny być jednak policzone jako osobne? chyba, że w ogóle nie odróżniasz skrzynek, ale wtedy również permutacje odpadają

[leszczu450]

klaustrofob, wiem gdzie robię błąd bo mam do tego odpowiedź. Nie wiem jednak dlaczego to jest błąd. Dlaczego opisana przeze mnie sytuacja powinna być policzona raz? Takie mam pytanie o : )