Czemu takie wartości p-stwa, badanie genealogiczne

[karolcia_23]

Hej mam pytanie, zadanie mam rozwiązane tylko nie wiem czemu jest pewna rzecz, czy ktoś potrafi mi wytłumaczyć w jak najprostszy sposób?
To treść zadania: Z badan genealogicznych wynika, ze kobieta jest nośnikiem hemofilii z p-stwem p. Jeżeli kobieta jest nośnikiem hemofilii, to każdy jej syn dziedziczy te chorobę z p-stwem 0.5. Kobieta, która nie jest nośnikiem hemofilii rodzi zdrowych synów. Obliczyć p-stwo, ze drugi syn będzie zdrowy, jeśli pierwszy syn jest zdrowy.

\(\displaystyle{ A-}\)drugi syn zdrowy

\(\displaystyle{ B-}\)pierwszy syn zdrowy

\(\displaystyle{ H_{1}-}\)kobieta jest nośnikiem hemofilii

\(\displaystyle{ H_{2}-}\)kobieta nie jest nośnikiem hemofilii

\(\displaystyle{ P(A \cap B)=P(A \cap B|H_{1})P(H_{1})+P(A \cap B|H_{2})P(H_{2})=\\
=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}p+1(1-p)=\\
=1-\frac{3}{4}p}\)

i teraz dlaczego jest taka równość, skąd ta \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), skąd akurat takie wartości prawdopodobieńst?

[mobr93]

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}p}\) to dlatego bo prawdopodobienstwo że syn jest zdrowy jest równe prawdopodobienstwowi ze dziedziczy chorobe. I dla obu synów prawdopodobienstwa sa niezalezne wiec
\(\displaystyle{ P(A \cap B|H_{1})P(H_{1})=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}p}\)
W przypadku kobiety która nie jest nosnikiem hemofili mamy:
\(\displaystyle{ P(A \cap B|H_{2})P(H_{2})=1(1-p)}\) bo zawsze rodzi zdrowych synów

[leszczu450]

karolcia_23, i oczywiście wszystko to wynika ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.

I myślę, że sprawę ułatwi też spojrzenia na sprawę tak:
\(\displaystyle{ P(A \cap B|H_{1})P(H_{1})=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}p= P(A \cap B|H_{1})P(H_{1})=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} \cdot p}\)

niby tylko jedna znak mnożenia, ale od razu widać co do czego należy. Mnożenie przez \(\displaystyle{ p}\) jest wynikiem \(\displaystyle{ P(H_1)}\). Zaś \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}\) to tak jak wspomniał mój przedmówca- to czy pierwszy czy drugi syn zachorują nie zależy od siebie. Zatem zdarzenia te są niezależne. Stąd skoro każde dziecko choruje z pstwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) to jedyną słuszną drogą jest przemnożenie. : )