Trener powołuje...

[Kuset]

Trener powołuje studenta do szerokiej reprezentacji uczelni w koszykówkę wówczas, gdy trafi on przynajmniej 15 razy w próbnej serii 20 rzutów do kosza. Jaką szansę powołania do kadry ma Donald Kaczor, który trafia średnio 65 razy na 100 rzutów?

Naprowadzi mnie ktoś od czego tu zacząć?

[chris_f]

Schemat Bernoulli'ego.
W pojedynczym rzucie prawdopodobieństwo sukcesu (trafienia) wynosi \(\displaystyle{ p=0,65}\), prawdopodobieństwo porażki \(\displaystyle{ q=1-p=0,35}\). Rzutów wykonujemy \(\displaystyle{ n=20}\), interesuje nas sytuacja, że w tych 20 rzutach będzie co najmniej 15 sukcesów.
Oznacza to, że musimy obliczyć prawdopodobieństwo
\(\displaystyle{ P=P_{20,15}+P_{20,16}+P_{20,17}+P_{20,18}+P_{20,19}+P_{20,20}}\)
gdzie pojedyncze prawdopodobieństwo liczymy np. dla \(\displaystyle{ k=17}\) ze wzoru
\(\displaystyle{ P_{20,17}={20\choose17}(0,65)^{17}(0,35)^{20-17}}\)
Rachunki musisz już wykonać sam.

-- 1 maja 2014, 17:09 --

[leszczu450]

chris_f, a ja mimo, że schematu Bernoulliego nie miałem, to patrząc na to zadanie zastanawiałem się dlaczego nie można stwierdzić po prostu, że skoro nasz zawodnik trafia na 100 rzutów 65 to jest to równoważne trafieniu 13 na 20. Więc się nie dostanie do drużyny. Wydaje mnie się, że coś tutaj sobie upraszczam, ale nie wiem jak to logicznie wyjaśnić sobie. Dlaczego takie spojrzenie na sprawę jest złe?

[chris_f]

Edytowane wielokrotnie, ale nie chcę niczego kasować więc zostawiam w takiej dziwnej formie.

Odpowiedziałem bez sensu, nie na pytanie, ale niech zostanie. (cytuję sam siebie)

Wyjaśnienie jest dosyć skomplikowane. Prawdopodobieństwo pojedynczego sukcesu w tym przypadku musimy wyznaczyć (czy też przyjąć) empirycznie.
Im większa liczba prób, tym dokładniej jesteśmy w stanie oszacować prawdopodobieństwo. Poszukaj czegoś o prawach wielkich liczb i całej teorii o zbieżnościach z prawdopodobieństwem.

Dla nas istotną jest informacja o 65 sukcesach na 100. Być może on te 65 sukcesów uzyskał w końcówce serii 100 rzutów, czyli np. w pierwszych 20 rzutach (tak jak przyjąłeś) nie trafił ani razu, dopiero później zaczął trafiać. Oczywiście lepszym było by stwierdzenie, że trafia 650/1000 albo 650000/1000000.

Sam schemat Bernoulli'ego jest prosty,polega na powtarzaniu pojedynczego zdarzenia ileś tam razy.

Gdy mamy do czynienia z rzucaniem kostką, grą w karty, losowaniem z urny itd., to tu prawdopodobieństwo pojedynczego zdarzenia obliczamy używając kombinatoryki i elementarnej definicji prawdopodobieństwa (moc zdarzenia sprzyjającego przez moc całej omegi).

Natomiast w tym zadaniu prawdopodobieństwo jest podane a posteriori, my nie musimy niczego liczyć. Ktoś zanotował (tak jak statystyk na meczu tenisowym, koszykówki czy siatkówki), że dany zawodnik trafił 650 rzutów na 1000 których wykonał. Być może, gdybyśmy wzięli statystykę z miliona rzutów (co jest nierealne), to odsetek celnych rzutów byłby odrobinę inny. Ale jako prawdopodobieństwo sukcesu bierzemy zawsze jak najlepsze oszacowanie - tzn. to z tysiąca rzutów jest lepsze niż to z dwudziestu. To że liczbowo wychodzi to samo to przypadek. A zresztą inaczej - masz informację o tym ile razy na 20 rzutów trafia ten zawodnik?

I tu właściwe (wg mnie) wyjaśnienie:

[edit] Dokładniej wczytałem się w Twoje pytanie i widzę, że rozumujesz niestety niepoprawnie.
Traktujesz rzucanie 20 razy jako jedno zdarzenie, podczas gdy jest to seria 20 prostszych zdarzeń.
Te 20 zdarzeń może zostać zrealizowanych na mnóstwo sposobów, pierwsze dwa rzuty spudłuje, potem dwa razy trafi itd., albo inaczej pięć razy spudłuje potem piętnaście razy trafi itd., itp.

Do tego dochodzi jeszcze jeden drobiazg:
Zawodnik ma trafić co najmniej 15 razy, a Ty w swoim rozumowaniu nie uwzględniłeś możliwości, że trafi 16, 17,..., 20 razy. Przecież jest to możliwe.

[edit 2] Ale namieszałem, ale tak z RP jest, coś jest oczywiste, a jak przyjdzie wytłumaczyć, to zaczynają się schody.

[edit 3] To może tak z grubej rury. To, że ktoś rzuca z prawdopodobieństwem np. 0,01 nie oznacza, że nie ma szans trafić 15 razy na 20 rzutów. Owszem, jest to mało prawdopodobne, ale możliwe. I odwrotnie, to, że ktoś ma skuteczność 99% nie oznacza, że te 15 rzutów trafi, bo jest możliwe, że nie trafi ani razu.
Po prostu ten egzamin trzeba traktować jako serię 20 identycznych zdarzeń losowych, z określonym prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczym zdarzeniu.

[Althorion]

chris_f, a ja mimo, że schematu Bernoulliego nie miałem, to patrząc na to zadanie zastanawiałem się dlaczego nie można stwierdzić po prostu, że skoro nasz zawodnik trafia na 100 rzutów 65 to jest to równoważne trafieniu 13 na 20. Więc się nie dostanie do drużyny. Wydaje mnie się, że coś tutaj sobie upraszczam, ale nie wiem jak to logicznie wyjaśnić sobie. Dlaczego takie spojrzenie na sprawę jest złe?

To podejście jest złe, bo podchodzi do rzucania do kosza jako zdarzenia deterministycznego, a nie losowego. U Ciebie koszykarz zawsze trafia dokładnie trzynaście na dwadzieścia rzutów, podczas gdy w zadaniu rzucał średnio z taką dokładnością (czyli czasem trafiał, czasem nie, zaś szansa trafienia wynosiła te 65%).
W Twoim modelu masz człowieka, który trafia zawsze gdy chce, a chce trafiać dokładnie te trzynaście na dwadzieścia rzutów. Jest to nonsensowne nie tylko dlatego, że trudno kogokolwiek podejrzewać o połączenie takich umiejętności z taką motywacją, ale też i stąd, że nie wiesz, czy i kiedy rozpoczął mu się ten cykl trafień/nie trafień oraz jak miałaby dokładnie wyglądać ta struktura rzutów - czy może najpierw trafia te trzynaście razy, a potem siedem pudłuje, czy może trafia sześć razy a potem naprzemiennie trafia i pudłuje itd. To wszystko zmieniałoby wynik.

[leszczu450]

chris_f, Althorion, niestety nie czuję się przekonany. Wiemy, że zawodnik na 100 rzutów trafia 65 razy. Więc wiemy, że w każdej setce ma on 65 sukcesów. I co niby koliduje z podzieleniem tego ?

[Althorion]

Wiemy, że zawodnik na 100 rzutów trafia 65 razy. Więc wiemy, że w każdej setce ma on 65 sukcesów.

Właśnie to jest nieprawdą. Nie w każdej setce. Ba, jest dosyć rzadkie, by się taka setka trafiła (trochę ponad 8%). To że on tyle trafia, to nie jest wynik jakiegoś procesu deterministycznego czy jakiejś umowy, ale efekt losowy. Należy to rozumieć, że prawdopodobieństwo sukcesu w rzucie to 65%, z czego można wnioskować, że wartość oczekiwana w dwudziestu próbach to trzynaście sukcesów, ale nie jest to wartość gwarantowana (i niekoniecznie też musi być, w ogólnym przypadku, najbardziej prawdopodobna - w niektórych eksperymentach losowych wartość oczekiwana w ogóle nie musi być możliwa do osiągnięcia).
Tak jak przy rzucie monetą powiesz, że orzeł wylatuje raz na dwa rzuty, ale nie oznacza to bynajmniej, że moneta będzie naprzemiennie losować orły i reszki.

[leszczu450]

Althorion, hmm masz rację. Ja patrzę na to jak na pewnika- zawsze trafi w serii stu rzutów te 65 razy. A tak wcale nie musi być z tego co mówisz. Więc jak się w ogóle ma ta informacja o tej jego skuteczności do naszych rozważań? I naprawdę jest \(\displaystyle{ 8 \%}\) szansy, że w serii stu rzutów zawodnik trafi te 65 razy?! Jakim cudem?

[Althorion]

Althorion, hmm masz rację. Ja patrzę na to jak na pewnika- zawsze trafi w serii stu rzutów te 65 razy. A tak wcale nie musi być z tego co mówisz. Więc jak się w ogóle ma ta informacja o tej jego skuteczności do naszych rozważań?

Ta informacja to „prawdziwe” prawdopodobieństwo na to, że trafi w danym rzucie (mniejsza o to, jak je uzyskać w sytuacjach praktycznych). Jest nam ona niezbędna by w ogóle móc się wypowiedzieć o szansy tego gracza na dostanie się do drużyny - gdyż gdybyśmy nie wiedzieli, jak dobrze rzuca, nie dałoby się określić szansy na wymaganą liczbę trafień. Same rzuty jednak to proces losowy, nie ma żadnej Wyższej Siły która wymusi na nich pewne określone zachowanie, możemy tylko odgadywać jak się zakończą - i do tego odgadywania właśnie potrzebna jest nam ta wartość prawdopodobieństwa.

I naprawdę jest \(\displaystyle{ 8 \%}\) szansy, że w serii stu rzutów zawodnik trafi te 65 razy?! Jakim cudem?

Kapkę więcej niż 8%. I nie widzę tutaj niczego cudownego prawdę mówiąc. Tak jak nie należy oczekiwać od monety, że po tysiącu rzutów pokaże idealnie 500 orłów, tak nie należy po tym koszykarzu oczekiwać, że uzyska idealnie 65 trafień.
Zachodzą na raz dwie rzeczy, które na pierwszy rzut oka mogą wydawać się sprzeczne, chociaż w rzeczywistości takie nie są. Po pierwsze wraz ze wzrostem liczby prób liczba sukcesów będzie dążyć do ich wartości oczekiwanej (prawo dużych liczb), a po drugie szansa na to, że liczba sukcesów będzie dokładnie równa wartości oczekiwanej będzie maleć.
Podsumowując, należy się spodziewać, że rzeczywistość zachowa się niemal dokładnie tak, jak to przewidzieliśmy, ale wynik dokładnie taki jak przewidywany powinien wydać się nam podejrzany.

[leszczu450]

Althorion, ale jak rzucam monetą to jednak orłów i reszek będę miał zawsze tak fifty-fifty. Będzie około \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). A tutaj mamy spadek o wiele więcej. O co więc chodzi?

[Althorion]

Nie zawsze, tylko bardzo często. I spadek z grubsza jest nawet mniejszy (dokładna wartość zależy od prawdopodobieństwa osiągnięcia sukcesu, tym większa różnica im bliżej jeden drugiej) - szansa na to, że uzyskasz dokładnie pięćdziesiąt orłów przy stu rzutach jest nawet nieco mniejsza niż 8%.

[leszczu450]

Althorion, oj oj oj to już na mnie za dużo. Nie zagłębiałem się jeszcze w wartości oczekiwane i zmienne losowe. A czuję, że to tutaj odgrywa dużą rolę. Nadal jednak tego nie czuję. Według mnie, gdy rzucam monetą 100 razy to chyba oczywiste jest, że mniej więcej połowa to będą reszki, a połowa to orły. Dlaczego miałoby być inaczej? Nie wiem, co to wartość oczekiwana, ale ja od takiej sytuacji oczekuję 50 orłów i 50 reszek : )

[Althorion]

Według mnie, gdy rzucam monetą 100 razy to chyba oczywiste jest, że mniej więcej połowa to będą reszki, a połowa to orły. Dlaczego miałoby być inaczej? Nie wiem, co to wartość oczekiwana, ale ja od takiej sytuacji oczekuję 50 orłów i 50 reszek : )

Wartość oczekiwaną rozumiesz w miarę poprawnie (ona jest minimalne bardziej finezyjna, ale tylko minimalnie). Słowem-kluczem jest tutaj mniej-więcej - otrzymasz zapewne wynik bardzo, bardzo przybliżony do oczekiwanego (51/49, 52/48, 53/47, coś takiego), ale rzadko kiedy będzie on perfekcyjny. Do tego stopnia, że nie tylko zbyt duże odchylenie powinno wzbudzić Twoje podejrzenia, ale także wynik "zbyt dobry, żeby był prawdziwy" może sugerować, że ktoś próbuje Cię oszukać.

[leszczu450]

Althorion, aaa to już widzę w czym problem : ) Dokładnie 50 orłów i dokładnie 50 reszek to już rzeczywiście problem. Masz rację. Zbyt idealnie by było. Dlatego jasne jest, że taki dokładny wynik raczej rzadko będzie osiągany. Ale wyniki mniej więcej 50 orłów i mniej więcej 50 reszek już chyba rzeczywiście będą wypadały o wiele częściej. Zgadza się?

[Althorion]

Tak. Jak pisałem, mówi o tym prawo dużych liczb.