kule w urnach

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
leszczu450
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

kule w urnach

Post autor: leszczu450 »

Cześć !

Mam problem z tym zadaniem.

W urnie jest 7 kul czarnych i 5 białych. Sześć z nich przekładamy do drugiej urny, początkowo pustej, i z niej losujemy 2 kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga z nich będzie biała.

Chcę koniecznie rozwiązać to z prawdopodobieństwa warunkowego. A nawet wydaje mi się, że wejdzie tutaj wzór na prawdopodobieństwo całkowite.

Na samym początku wypisuje sobie co w ogóle może znaleźć się w drugiej urnie. Jest tyllko sześć opcji:

\(\displaystyle{ C , C, C, C, C, C \\ C, C, C, C, C, B \\ C, C, C, C, B, B \\ C, C, C, B, B, B \\ C, C, B, B, B, B \\ C, B, B, B, B, B}\)

Teraz w każdym z tych sześciu przypadków chcę obliczyć zajście zdarzenia \(\displaystyle{ P(B_2)}\), gdzie \(\displaystyle{ B_2}\) oznacza wyciągnięcie białej kuli za drugim razem. I analogicznie będę oznaczał zdarzenia pozostałe- \(\displaystyle{ C_1, C_2 , B_1}\).

W każdym z sześciu przypadków szukam więc: \(\displaystyle{ P(B_2)= P(B_2 | C_1)P(C_1) + P(B_2|B_1)P(B_1)}\)

Czy to jest dobry tok rozumowania? Jeśli tak, to co mam zrobić dalej? Zastanawiam się nad tym czy zdarzenia \(\displaystyle{ B_2 , C_1}\) są zdarzeniami niezależnymi? Chyba są , co nie? : )

Proszę o pomoc.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

kule w urnach

Post autor: norwimaj »

leszczu450 pisze: Chcę koniecznie rozwiązać to z prawdopodobieństwa warunkowego.
To bardzo utrudnia sprawę. Ja bym na Twoim miejscu od razu stwierdził, że wynikiem jest \(\displaystyle{ \frac5{12}}\).
leszczu450 pisze: Zastanawiam się nad tym czy zdarzenia \(\displaystyle{ B_2 , C_1}\) są zdarzeniami niezależnymi? Chyba są , co nie? : )
Chyba nie są. Jeśli na przykład miałeś jedną kulę czarną i pięć białych, to \(\displaystyle{ P(B_2)\cdot P(C_1)=\frac56\cdot\frac16\ne \frac{1\cdot5}{6\cdot5}=P(B_2\cap C_1)}\).
Awatar użytkownika
leszczu450
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

kule w urnach

Post autor: leszczu450 »

Zdarzenia są zależne- głupotę napisałem.

Obliczyłem, że:


1. Gdy mam układ \(\displaystyle{ C, C, C, C, C, C}\) to \(\displaystyle{ P(B_2)=0}\)-jasna sprawa.

2. Gdy mam układ \(\displaystyle{ C, C, C, C, C, B}\) to \(\displaystyle{ P(B_2)= \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{5}= \frac16}\) Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite.

3. Gdy mam układ \(\displaystyle{ C, C, C, C, B, B}\) to \(\displaystyle{ P(B_2)= \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{5}+ \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5}= \frac{1}{3}}\)

4. Gdy mam układ \(\displaystyle{ C, C, C, B, B, B}\) to \(\displaystyle{ P(B_2)= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}= \frac{1}{2}}\)

5. Gdy mam układ \(\displaystyle{ C, C, B, B, B, B}\) to \(\displaystyle{ P(B_2)= \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} + \frac{2}{6} \cdot \frac{4}{5}= \frac{2}{3}}\)

6. gdy mam układ \(\displaystyle{ C, B, B, B, B, B}\) to \(\displaystyle{ P(B_2)= \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{5} + \frac{1}{6} \cdot 1= \frac{5}{6}}\)

I w sumie to nie wiem co mam teraz zrobić z tymi prawdopdobieństwami? : )
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

kule w urnach

Post autor: »

Najprościej jest zauważyć, że każda kula ma jednakowe szanse być wybraną w ostatnim losowaniu, zatem prawdopodobieństwo, że będzie biała to \(\displaystyle{ \frac{5}{12}}\).

Można też użyć drzewka:
\(\displaystyle{ \frac{\binom 76 \binom 50}{\binom{12}{6}}\cdot 0 +
\frac{\binom 75 \binom 51}{\binom{12}{6}}\cdot \left( \frac 56 \cdot \frac 15 + 0\right) +
\frac{\binom 74\binom 52}{\binom{12}{6}}\cdot\left( \frac 46\cdot\frac 25 +\frac 26\cdot\frac 15\right)+\\ +
\frac{\binom 73\binom 53}{\binom{12}{6}}\cdot\left( \frac 36\cdot\frac 35 +\frac 36\cdot\frac 25\right)+
\frac{\binom 72\binom 54}{\binom{12}{6}}\cdot\left( \frac 26\cdot\frac 45 +\frac 46\cdot\frac 35\right)+
\frac{\binom 71\binom 55}{\binom{12}{6}}\cdot\left( \frac 16\cdot\frac 55 +\frac 56\cdot\frac 45\right)}\)

ale to oczywiście równie paskudne co zbędne.

Q.
Ostatnio zmieniony 27 kwie 2014, o 01:09 przez , łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
leszczu450
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

kule w urnach

Post autor: leszczu450 »

, norwimaj, skąd Wy Panowie wiecie bez liczenia, ze to bedzie \(\displaystyle{ \frac{5}{12}}\) to ja zielonego pojęcia nie mam!-- 27 kwi 2014, o 01:08 --, i chochlik Ci się wkradł. W mianownikach szóstka zamiast piątki.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

kule w urnach

Post autor: norwimaj »

leszczu450 pisze:, norwimaj, skąd Wy Panowie wiecie bez liczenia, ze to bedzie \(\displaystyle{ \frac{5}{12}}\) to ja zielonego pojęcia nie mam!
Uzasadnienie jest takie:
Qń pisze:każda kula ma jednakowe szanse być wybraną w ostatnim losowaniu
Jeśli od razu tego nie widzisz, to pomaluj wszystkie kule na \(\displaystyle{ 12}\) kolorów (\(\displaystyle{ 7}\) czarnych i \(\displaystyle{ 5}\) białych.) Który z dwunastu kolorów ma największe szanse być wylosowanym?
ODPOWIEDZ