Proszę o sprawdzenie, czy robię poprawnie:
Niech \(\displaystyle{ (N_{t})_{t \geqslant 0}}\) - proces Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\).
Obliczyć \(\displaystyle{ P(N(5)=3 | N(1) + N(2)=3)}\). Stwierdzam, że są 2 możliwości - albo \(\displaystyle{ N(1)=0}\), albo \(\displaystyle{ N(1)=1}\)
\(\displaystyle{ P(N(5)=3 | N(1) + N(2)=3) = \frac{P(N(5)=3, N(1)=N(5)-N(2))}{P(N(1)+N(2)=3)} =}\)
\(\displaystyle{ \frac{P(N(5)=3, N(5)-N(2)=0) + P(N(5)=3, N(5)-N(2)=1)}{P(N(5)-N(2)=0)+P(N(5)-N(2)=1)}}\)
Skorzystałem z niezależności oraz:
\(\displaystyle{ P(A| B_{1} \cup B_{2}) = \frac{P(A \cap B_{1})+P(A \cap B_{2})}{P(B_{1} \cup B_{2})} = \frac{P(A \cap B_{1})+P(A \cap B_{2})}{P(B_{1}) +P(B_{2})}}\), o ile \(\displaystyle{ P(B_{1} \cap B_{2} = \emptyset)}\)