Wielowymiarowy rozkład normalny, niezależność, korelacja

[porucznik]

Zastanawiam się nad takim twierdzeniem:

Komponenty wektora losowego normalnego są niezależne \(\displaystyle{ \iff}\) są nieskorelowane.

Nurtuje mnie jedna sprawa - mówiąc o niezależności zmiennych wiemy, że zmienne losowe mogą być niezależne parami, nie nie muszą być niezależne. Natomiast mówiąc o współczynniku korelacji/kowariancji mamy na myśli wartość współczynnika pomiędzy dwoma zmiennymi losowymi. W takim razie co to znaczy, że komponenty wektora \(\displaystyle{ \mathbb X = (X_{1},...,X_{n})}\) są nieskorelowane? Czy chodzi o to, że współczynniki zerują się parami \(\displaystyle{ \rho_{X_{i},X_{j}}=0}\) dla \(\displaystyle{ i \neq j}\)?

@edit: Czy może w powyższym twierdzeniu powinno być - parami niezależne?

[fon_nojman]

Komponenty wektora losowego normalnego są nieskorelowane tzn. \(\displaystyle{ \rho_{X_{i},X_{j}}=0, i \neq j.}\)

Z postaci gęstości wektora normalnego widać, że nieskorelowanie współrzędnych pociąga niezależność (grupową). Macierz kowariancji będzie miała wtedy niezerowe elementy tylko na przekątnej a to jest właśnie gęstość dla niezależnych współrzędnych.

Popatrz dokładnie na gęstość wektora normalnego, można z niej wszystko wyczytać.

[porucznik]

Jeśli na przekątnej elementy w macierzy kowariancji są niezerowe, to widzę że tak będzie. Natomiast coś mi umyka, przy rozważaniu macierzy kowariancji, gdzie na przekątnej będzie przynajmniej jedno \(\displaystyle{ 0}\). Wtedy odpowiednia zmienna losowa będzie zdegenerowana (bo o średniej i wariancji równych \(\displaystyle{ 0}\)) zatem niezależna względem dowolnej zmiennej losowej. Jedyne co widzę w tym przypadku, to że jeśli na i-tym miejscu diagonali macierzy jest 0, to zmienna \(\displaystyle{ X_{i}}\) jest niezależna od \(\displaystyle{ X_{j}}\) dla \(\displaystyle{ i \neq j}\). Jak teraz wyjaśnić, że poza taką niezależnością parami będziemy mieli dodatkowo niezależność zmiennych \(\displaystyle{ X_{k},X_{l}}\), dla \(\displaystyle{ k,l \neq i}\), oraz ogólniej - niezależność grupową?

Pozdrawiam.

[fon_nojman]

...Wtedy odpowiednia zmienna losowa będzie zdegenerowana (bo o średniej i wariancji równych \(\displaystyle{ 0}\))...

Średnia nie musi być \(\displaystyle{ 0.}\) Jak wariancja zmiennej lodowej jest równa \(\displaystyle{ 0}\) to wtedy zmienna losowa jest stała p.p.

Przechodząc do pytania, jeśli popatrzymy na wektor złożony tylko z niezdegenerowanych współrzędnych to zachodzi nasza równoważność, jeżeli teraz dołożymy sobie do nich współrzędną zdegenerowaną to też będzie dobrze bo jest ona nieskorelowana i niezależna z pozostałymi.