prawdopodobieństwo warunkowe

[leszczu450]

Cześć !

Czytam w książce, że:

\(\displaystyle{ P(A|B) > P(A) \iff P(B|A) > P(B)}\)


Co można czytać tak: Zajście zdarzenia \(\displaystyle{ B}\) zwiększa szanse zajścia zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) wtedy i tylko wtedy, gdy zajścia zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) zwiększają szanse zajścia zdarzenia \(\displaystyle{ B}\).

Jak to możliwe? ...

Z góry dziękuję za odpowiedzi.

[Althorion]

Intuicyjnie: skoro zajście B zwiększa szansę na A, to istnieją takie zdarzenia elementarne, które nam zaspokajają jednocześnie i A, i B, więc automatycznie zajście A zwiększa nam szansę na B (gdyż jest możliwe, że trafiło się któreś z tych zdarzeń zaspokajających oba).

Rozpisać to można tak:
Z definicji, \(\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B)}\) i jednocześnie (z przemiennności przekroju zbiorów) \(\displaystyle{ P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A)}\), zatem \(\displaystyle{ P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)}\). Jeśli oba prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P(A)}\) oraz \(\displaystyle{ P(B)}\) są niezerowe, to tamto równanie jest równoważne \(\displaystyle{ \frac{P(A|B)}{P(A)} = \frac{P(B|A)}{P(B)}}\), z którego natychmiast otrzymujemy zadaną równoważność.
Dowód przy którymś z prawdopodobieństw równym zero pozostawiamy jako ćwiczenie dla czytelnika .

[leszczu450]

Althorion, to, że z definicji to wychodzi jest dla mnie jasne : ) Przemienność części wspólnej zbiorów tutaj działa. Ale ja mam inny problem. Nie mogę tego intuicyjnie załapać. Nie potrafię sobie nawet w głowie jakiegoś przykładu znaleźć.

[Kartezjusz]

A-Rośliny urosną
B-będzie podlewana

Roślina ma większe szanse urośnięcia jeśli zostanie podlana. Stąd można wyrozumować,że jeżeli roślina urosła, to znaczy ,że możemy podejrzewać,że była podlewana.

[leszczu450]

Kartezjusz, w ogóle to do mnie nie przemawia... Wręcz widzę to w drugą stronę.

[Kartezjusz]

czyli jak?

[leszczu450]

Stąd można wyrozumować,że jeżeli roślina urosła, to znaczy ,że możemy podejrzewać,że była podlewana.

Możemy podejrzewać? Ja tego nie czuje.

[Kartezjusz]

Tak. możemy podejrzewać, bo to prawdopodobieństwo.
Przeanalizuj sobie zdarzenia także
A-Jest ciemno
B-jest noc

[a4karo]

Egzamin polega na tym, że odpowiadasz na jedno wylosowane pytanie. Pytań jest 4, z czego 2 z prawdopodobienstwa i 2 ze statystyki. Znasz odpowiedzi na oba pytania z p-stwa i na jedno pytanie ze statystyki.

A- zdałes egzamin, B- wylosowałes pytanie z p-stwa

Licz...

[leszczu450]

a4karo, o ile jestem w stanie zrozumieć zdarzenie \(\displaystyle{ A}\) pod warunkiem \(\displaystyle{ B}\), to kompletnie nie wiem jak nawet przeczytać, ze zdarzenie \(\displaystyle{ B}\) zajdzie pod warunkiem zdarzenia \(\displaystyle{ A}\). \(\displaystyle{ P(B|A)}\) - prawdopodobieństwo wylosowania pytań z p-stwa pod warunkiem że zdałem egzamin? Przecież to nie ma sensu...

[a4karo]

A niby dlaczego nie? Zdałes egzamin o ile wylosowałes jedno z TRZECH pytań, na które znałęs odpowiedz. Szansa na to, ze było to pytanie z prawdopodobienstwa wynosi zatem 2/3.

[leszczu450]

Co można czytać tak: Zajście zdarzenia \(\displaystyle{ B}\) zwiększa szanse zajścia zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) wtedy i tylko wtedy, gdy zajścia zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) zwiększają szanse zajścia zdarzenia \(\displaystyle{ B}\).

Więc czytam to tak jak tutaj jest napisane:

Zajście zdarzenia, że wylosowałem pytania z p-stwa zwiększa mi szanse zajścia zdarzenia, ze zdam egzamin. Jasne!

W drugą stronę:

Zajście zdarzenia, że zdam egzamin zwiększy mi szanse wylosowania pytań z p-stwa ?!

Po co mam losować pytania, skoro już zdałem egzamin?-- 25 kwi 2014, o 23:14 --Przecież tutaj się czas nie zgadza. Najpierw losuje, potem zdaję bądź nie zdaje egzaminu. Więc jaki jest sens rozpatrywać warunek- zdanie egzaminu ?

[porucznik]

Zdaje się, że ma sens. Mogłeś przecież przekupić szanowną komisję bombonierką z alkoholem, co gwarantowałoby Ci zdanie egzaminu. W takim układzie jest sens pytać o szanse wylosowania pytania z p-ństwa pod warunkiem, że egzamin będzie zdany. W tym przypadku zdarzenia powinny być formułowane przed dokonywaniem doświadczenia czyli używając czasu przyszłego Wtedy wydaje mi się, że będzie tak:

\(\displaystyle{ A}\) - zd. pol. na tym, że zdamy egzamin
\(\displaystyle{ B}\) - zd. pol. na tym, że wylosujemy pytanie z prawdopodobieństwa

\(\displaystyle{ P(A|B) = 1}\)
\(\displaystyle{ P(B) = \frac{1}{2}}\)

W takim razie \(\displaystyle{ P(A \cap B) = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}}\), więc \(\displaystyle{ P(B|A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}}\)

[leszczu450]

porucznik, policzyć to umiem. Jednak dalej mnie to nie przekonuje intuicyjnie. Mówienie o tym, ze przekupiłem komisję też zdaje się dziwne. Przecież takim tokiem rozumowanie to ja wszystko mogę sobie udowodnić. Nadal więc nie rozumiem co oznacza : zdarzenie, że wylosuję pytanie z p-stwa pod warunkiem, że zdam egzamin.

[JakimPL]

Mam wrażenie, że w nierówności w połączeniu się z zależnością zdarzeń wypatrujesz zależności typu 'przyczyna-skutek' tudzież następstwa zdarzeń, którego prawdopodobieństwo nie opisuje.