prawdopodobieństwo warunkowe

[leszczu450]

JakimPL, tak, traktuje warunek \(\displaystyle{ B}\) jako coś co stało się wcześniej i ma wpływ na zdarzenia \(\displaystyle{ A}\), które zajdzie. I na odwrót. A tak nie jest?

[JakimPL]

Odpowiem nieco pozamerytorycznie.

Następstwo zdarzeń jest oczywiście nieprzemienne. Iloczyn zdarzeń, zależność z tezy - tak (symetryczne). Coś tu nie gra, hm?

Podobnie korelacja zdarzeń nie określa zależności przyczynowo-skutkowej, tylko koegzystencję, współistnienie zdarzeń.

[porucznik]

Przychodzi mi do głowy coś takiego, może lepiej podpasuje w interpretacji niż ten nieszczęsny egzamin, bo czas nie odgrywa tutaj żadnej roli:

Prowadzący grę losowo wybiera cyfrę ze zbioru \(\displaystyle{ \lbrace 1,...,6 \rbrace}\). Następnie podpisuje \(\displaystyle{ 5}\) kul cyframi poza tą którą wylosował. Doświadczenie losowe polega na tym, że losujemy z urny jedną z \(\displaystyle{ 5}\) kul podpisanych przez prowadzącego.

\(\displaystyle{ A}\) - zd. pol. na tym, że wyciągniemy kulę z numerem większym niż \(\displaystyle{ 1}\)
\(\displaystyle{ B}\) - zd. pol. na tym, że w urnie nie ma kuli z numerem \(\displaystyle{ 1}\)

@edit: literówka, urna jest jedna, w niej leży 5 kul

[leszczu450]

porucznik, chyba coś źle napisałeś. Ile jest urn, a ile kul ?-- 26 kwi 2014, o 00:42 --JakimPL, a mógłbyś coś więcej powiedzieć ? Jak mam zatem traktować zapis \(\displaystyle{ P(A|B)}\) ? Ja czytam to tak: Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(\displaystyle{ B}\). I co dla mnie jest równoważne temu, że zdarzenie \(\displaystyle{ B}\) pociąga za sobą zdarzenie \(\displaystyle{ A}\).

[JakimPL]

Nie pociąga. Pociąganie zdarzeń to zależność mnogościowa zawierania się zbiorów, np. \(\displaystyle{ A\subseteq B}\), co w przypadku prawdopodobieństwa warunkowego się trywializuje:

\(\displaystyle{ P(A)\neq 0, A\subseteq B \Rightarrow P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} = \frac{P(A)}{P(A)}=1}\)

Losujemy na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\) liczbę rzeczywistą. \(\displaystyle{ A}\) - będzie w przedziale \(\displaystyle{ \left[0,\frac{2}{3}\right]}\), \(\displaystyle{ B}\) - w przedziale \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{3},1\right]}\)

Gdzie, w sytuacji całkowicie symetrycznej, może wpadanie do przedziału oznaczać wynikanie typu "jak wpadnie do \(\displaystyle{ A}\), to wpadnie do \(\displaystyle{ B}\)"?

[leszczu450]

Więc tak. Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(\displaystyle{ B}\) to \(\displaystyle{ P(A|B)}\). Czyli prawdopodobieństwo tego, że wyciągnę kulę numerem większym niż \(\displaystyle{ 1}\) pod warunkiem, że kuli z numerem \(\displaystyle{ 1}\) nie ma w urnie. Stąd wiem, że \(\displaystyle{ P(A|B)= 1}\) i to jest większe od \(\displaystyle{ P(A)}\) . Teraz w drugą stronę. Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(\displaystyle{ B}\) pod warunkiem, że zaszło zdarzenie to \(\displaystyle{ P(B|A)}\). Czyli prawdopodobieństwo tego, że w urnie nie ma kuli z numerem jeden pod warunkiem, że wyciągniemy kulę z numerem większym od jeden. I tu znowu tego nie rozumiem...

-- 26 kwi 2014, o 00:57 --

Intuicyjnie: skoro zajście B zwiększa szansę na A, to istnieją takie zdarzenia elementarne, które nam zaspokajają jednocześnie i A, i B

A dla mnie to wygląda jak zawieranie.-- 26 kwi 2014, o 01:14 --

Losujemy na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\) liczbę rzeczywistą. \(\displaystyle{ A}\) - będzie w przedziale \(\displaystyle{ \left[0,\frac{2}{3}\right]}\), \(\displaystyle{ B}\) - w przedziale \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{3},1\right]}\)

Gdzie, w sytuacji całkowicie symetrycznej, może wpadanie do przedziału oznaczać wynikanie typu "jak wpadnie do \(\displaystyle{ A}\), to wpadnie do \(\displaystyle{ B}\)"?

Nie rozumiem tego. To zdanie nie ma sensu po polsku

[JakimPL]

Może dlatego, że to było pytanie retoryczne.

[porucznik]

Czyli prawdopodobieństwo tego, że w urnie nie ma kuli z numerem jeden pod warunkiem, że wyciągniemy kulę z numerem większym od jeden. I tu znowu tego nie rozumiem...

Chyba wiem w czym problem. Moje zadanie jest takie samo jak te poprzednie. Po prostu myśląc sobie o takim 'odwróconym' prawdopodobieństwie warunkowym nie można wyliczyć prawdopodobieństwa na palcach, tylko trzeba posłużyć się definicją. P-ństwo warunkowe można kojarzyć z obcinaniem przestrzeni probablistycznej.

\(\displaystyle{ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}}\)

W mianowniku zamiast \(\displaystyle{ P(\Omega)}\) znajduje się p-ńśtwo zdarzenia B, czyli tego które mamy pod warunkiem. Do niego normujemy wartość p-ństwa przekroju zdarzeń \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\).

Te wszystkie przykładowe zadania skonstruowane są tak, że potrafimy z marszu podać jedno z 2ch p-ństw warunkowych, oraz p-ństwa zdarzeń pojedynczo \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\). Widzimy na przykładzie z kulami, że nie wiemy na dobrą sprawę co myśleć o przekroju zdarzeń \(\displaystyle{ A \cap B}\). Ale wiemy co to jest \(\displaystyle{ P(A|B)}\). Jeśli jednak mamy świadomość, że z definicji p-ństwa warunkowego jesteśmy w stanie wyliczyć \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\), a poza tym znamy z osobna \(\displaystyle{ P(A)}\) oraz \(\displaystyle{ P(B)}\), że nic nie stoi na przeszkodzie, żeby wartość \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\) unormować do p-ństwa tego drugiego zbioru, znaczy się \(\displaystyle{ A}\), a nie tak jak poprzednio, do \(\displaystyle{ B}\).

O ile w zadaniu z egzaminem i zadaniami można mieć wątpliwości co do sensu p-ństwa warunkowego, tak tutaj już nie powinniśmy ich mieć Przecież całkiem naturalny wydaję się być fakt, że jeśli będziemy mówili o prawdopodobieństwie że w urnie znajduje się kula z numerem 1 przed podejściem do losowania, to dostaniemy inną wartość, niż po podejściu do losowania.

W ramach treningu zachęcam do zapoznania się z paradoksem Monty-Halla

[a4karo]

Powróćmy jeszcze do tego egzaminu
Niech \(\displaystyle{ C}\) oznacza zdarzenie: wylosowałeś pytanie, na które znasz odpowiedź.

Czy w tej chwili zdarzenie \(\displaystyle{ B|C}\) ma sens? Zgodzisz się , że tak?

A przecież zdarzenia \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ A}\) to jedno i to samo zdarzenie, tylko opowiedziane innymi słowami. I następstwo zdarzeń czy przekupienie komisji nie ma tu nic do rzeczy. Natomiast zadanie pokazuje jak sformułowanie zadania (SUGERUJĄCE następstwo zdarzen) może zaburzyc tok myślenia

Jednej rzeczy trzeba sie nauczyć: stwierdzenie zaszlo zdarzenie \(\displaystyle{ A}\) pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(\displaystyle{ B}\) nie sugeruje żadnego następstwa tych zdarzeń. Po prostu ogranicza przestrzeń zdarzeń elementarnych do zbioru \(\displaystyle{ B}\).

JakimPL pisał o następstwie zdarzeń i prawdopodobieństwie. W tym przypadku jego uwaga się nie stosowała. Ale załóżmy taką sytację:

Pula zadań jest taka sama, ale przed Tobą wchodzi na egzamin kolega. Umie tyle samo, bo sie razem uczyliście. Pytania po wylosowaniu nie wracaja do puli.
zad 1. Ty zdałeś egzamin. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kolega też zdał?
zad 2. Oblałeś. jakie jest pstwo, że kolega zdał?

[leszczu450]

a4karo, szok!! Rozumiem !!!!!!!!!!!!!! W końcu ! Wrócę do \(\displaystyle{ P(B|A)}\) , gdzie \(\displaystyle{ A}\) to zdarzenie, że zdałem egzamin, a \(\displaystyle{ B}\)- wylosowałem pytanie z p-stwa. Więc powiem jak ja to rozumiem. Więc tak jak Pan mówił. Nic się nie stało wcześniej, nic później. Raczej chodzi tu o spekulowanie. Zdałem egzamin- wiem! Wróżka mi w nocy powiedziała o! Kiedy zdałem egzamin? Ano gdy wylosuje jedno z trzech pytań. Teraz pytam o prawdopodobieństwo wylosowania pytania z p-stwa pod warunkiem, że wiem, że zdałem egzamin. Zatem pula pytań teraz na które patrze to: jedno pytanie z pstwa, drugie pytanie z pstwa, jedno pytanie ze statystyki. I teraz już prosta sprawa. Po prostu mam mniejszą przestrzeń na, którą patrzę. I to z tej przestrzeni teraz licze prawdopodobieństwo wylosowania pytania z pstwa. I tu już jest jasne, że będzie to \(\displaystyle{ \frac23}\) !!!

a4karo, porucznik, JakimPL, Kartezjusz, Althorion, dziękuję Wam Panowie! Na kolejność nie patrzcie : )