między 0, a 1 są dokładnie 4 cyfry

[leszczu450]

Cześć !

Zadanie jest takie:

Mam \(\displaystyle{ 10}\) liczb. Od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 9}\). Obliczyć prawdopodobieństwo, że między zerem, a jedynką znajdują się dokładnie \(\displaystyle{ 4}\) cyfry.

Według mnie wynik to \(\displaystyle{ \frac{2 \cdot 5 \cdot 8!}{10!}}\). Czy to jest dobry wynik?

[kerajs]

Brak opisu losowania/układania cyfr wiec nie ma sposobu na sprawdzenie Twojego wyniku,

[leszczu450]

kerajs, no jak to? Wszystkich możliwych ułożeń jest \(\displaystyle{ 10!}\) .

[Mathix]

Chodzi mu chyba o zdarzenie sprzyjające.

[kropka+]

Między zerem a jedynką nie ma żadnej cyfry, natomiast jest nieskończenie wiele liczb.
Podaj dokładną treść zadania.

[bartek118]

Patrząc na wynik, to strzelam, że chodzi o to, że losowo ustawiamy cyfry w ciąg

[leszczu450]

Cyfry \(\displaystyle{ 0, \ldots 9}\) losowo ustawiamy w ciąg. Jakie jest p-stwo, że między zerem, a jedynką znajdują się dokładnie cztery cyfry?

Sorry za zamieszanie z poleceniem : )

[Mathix]

Według mnie to będzie tak:
Ustawiamy ciąg np. \(\displaystyle{ 093451}\). Ten ciąg możemy ułożyć na 5 sposobów. Liczby pomiędzy 0, a 1 możemy wybrać na \(\displaystyle{ {8\choose4}}\) sposobów, przy czym mogą być one w różnej kolejności. Liczby poza 0 i 1 można ustawić na \(\displaystyle{ 4!}\) sposobów. Dodatkowo 0 i 1 mogą stać na odwrotnych miejscach. Mamy ostatecznie:
\(\displaystyle{ |A|=2\cdot5\cdot{8\choose4}\cdot4!\cdot4!=2\cdot5\cdot8! \\ |\Omega|=10!}\)

[leszczu450]

Mathix, na pewno jest to zły wynik.

[kropka+]

Trzeba jeszcze uwzględnić, że \(\displaystyle{ 0}\) może być przed \(\displaystyle{ 1}\) albo za \(\displaystyle{ 1}\).

[leszczu450]

A nie mogę tego zrobić tak:

Wszystkie możliwe opcje to:

0 - - - - 1 - - - -
- 0 - - - - 1 - - -
- - 0 - - - - 1 - -
- - - 0 - - - - 1 -
- - - - 0 - - - - 1

Jest więc \(\displaystyle{ 5}\) opcji. Teraz wszędzie mogę zamienić zero i jedynkę miejscami. Mam więc \(\displaystyle{ 2 \cdot 5}\) opcji. A w te osiem wolnych miejsc mogę włożyć cyfry na \(\displaystyle{ 8!}\) sposobów. Stąd prawdopodobieństwo to \(\displaystyle{ \frac{2 \cdot 5 \cdot 8!}{10!}}\).

[Mathix]

Racja, zagapiłem się i przy przesunięciu ciągów zgubiłem jeden przypadek.
Poprawiłem.

[kropka+]

Dobrze. Czyli wynik to \(\displaystyle{ \frac{1}{9}}\).

[leszczu450]

kropka+, a w książce odpowiedź to \(\displaystyle{ \frac{2 \cdot 5 \cdot 7!}{10!}}\). Błąd ?

[Kacperdev]

Moim zdaniem błąd w podręczniku.