prawdopodobieństwo geometryczne

[kropka+]

Liczymy prawdopodobieństwo, że pierwszy punkt jest w kwadracie a drugi w górnej prawej ćwiartce koła. więc te zdarzenia nie mają ze sobą nic wspólnego (czyli są niezależne).

[leszczu450]

kropka+, ale jak zamaluje sobie na tym kole odpowiedni fragmenty, to będą się pokrywać w pewnych miejscach.

[Althorion]

W ogóle Cię to nie interesuje. Nowy punkt, nowa sprawa. To gdzie padł pierwszy nie wpływa na to, gdzie padnie drugi. To czy próbujesz je złapać na fragmencie pokrywającym się całkowicie, częściowo bądź w ogóle rozłącznym nie ma znaczenia.

Zdarzenia te są też i rozłączne. Nie byłyby, gdyby istniały takie rzuty pierwszego punktu, że od razu drugi byłby dobrze rzucony (bądź na odwrót, takie rzuty drugiego punktu że dobrze rzucony byłby pierwszy), ale jak pisałem, nowy punkt, nowa sprawa.

[a4karo]

Althorion, super ! A mogłem od razu skorzystać z tego, że zdarzenia są rozłączne więc, \(\displaystyle{ P\left( A \cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)}\) ?

A skąd taki wniosek?
Jak losujesz liczby naturalne ze zbioru 1,2,...,10 i A to zdarzenia, że wylosujesz liczbę parzystą, a B, że nieparzystą to oba maja prawdopodobieństwa 1/2, a \(\displaystyle{ A \cap B=\emptyset}\), nieprawdaż.
Mylisz zdarzenia rozłączne z niezależnymi.

[leszczu450]

a4karo, no właśnie do takiego wniosku doszedłem. Więc jaka jest formalnie różnica między zdarzeniami rozłącznymi, a zdarzeniami niezależnymi?

[Althorion]

To dwa różne pojęcia.

Zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są niezależne, jeśli \(\displaystyle{ P(A|B) = P(B|A) = P(A) \cdot P(B)}\), tzn. to że wydarzyło się jedno, nie ma żadnego związku z tym, że wydarzyło się drugie. Np. kolejne rzuty tą samą monetą czy wpływ podboju kosmosu na rozwój dorożkarstwa w Chinach.
Są natomiast rozłączne, jeśli nie istnieje taka obserwacja, która by satysfakcjonowała oba na raz. Bardzo dobry przykład podał a4karo — nie da się jednocześnie na kości dziesięciościennej wyrzucić liczby parzystej i liczby nieparzystej.

[norwimaj]

O jakich zdarzeniach rozłącznych piszecie? Gdyby były rozłączne, to prawdopodobieństwo zajścia obu naraz byłoby zerowe.

[Kartezjusz]

Tak, bo zbiór zdarzeń sprzyjających im jednocześnie byłby pusty.

[Althorion]

norwimaj, według definicji które słyszałem, takie zdarzenia są nazywane wykluczającymi się, nie rozłącznymi. Wykluczające się, jak sama nazwa wskazuje, to takie których iloczyn jest pusty, natomiast rozłączne to takie, dla których nie istnieje obserwacja spełniająca oba na raz.

[leszczu450]

W książce z której się uczę i którą na chwilę obecną traktuje jak Biblie rachunku prawdopodobieństwa napisane jest:

\(\displaystyle{ A \cap B=0}\) - oznacza, że \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) wykluczają się.

[norwimaj]

Zdarzenia są zbiorami i rozłączność jest rozumiana tak jak dla każdych innych zbiorów.

W tym wypadku mamy przestrzeń probabilistyczną \(\displaystyle{ \Omega=K^2}\), gdzie \(\displaystyle{ K=\{(x,y)\in\RR^2:x^2+y^2\le r^2\}}\). Rozpatrujemy zdarzenia:

\(\displaystyle{ A=\left\{((x_1,y_1),(x_2,y_2))\in\Omega: |x_1|\le\frac{r}{\sqrt2}, |y_1|\le\frac{r}{\sqrt2}\right\},}\) (pierwszy punkt znajdzie się w kwadracie, drugi gdziekolwiek)

\(\displaystyle{ B=\left\{((x_1,y_1),(x_2,y_2))\in\Omega: |y_2|\ge\frac{r}{\sqrt2}\right\}.}\) (drugi punkt znajdzie się w górnym odcinku koła, a pierwszy gdziekolwiek)

Gdyby \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) były rozłączne, to prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A\cap B=\emptyset}\) byłoby równe zero. Ale \(\displaystyle{ ((0,0),(0,4r-\pi r))\in A\cap B}\), więc nie są rozłączne.

[leszczu450]

norwimaj, czyli tak jak mówiłem. Są niezależne, bo rzut pierwszego punktu nie ma żadnego wpływu na rzut drugiego punktu i na odwrót. Natomiast te dwa zdarzenia rozłączne nie są, bo istnieją takie punkty, które są elementami zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) i elementami zdarzenia \(\displaystyle{ B}\). Dobrze mówię?

[Zordon]

Definicja jest taka, że \(\displaystyle{ A,B}\) się wykluczają jeśli \(\displaystyle{ A \cap B=\emptyset}\), natomiast niezależność to zupełnie inne pojęcie.

[leszczu450]

Zordon, czyli u nas są niezależne- to jedna informacja. Nie wykluczają się- to druga informacja. I nie są rozłaczne- to trzecia informacja wynikająca z drugiej. Zgadza się?

[mat_61]

Zdarzenia losowe wykluczające się i rozłączne to synonimy.

Gdyby były rozłączne, to prawdopodobieństwo zajścia obu naraz byłoby zerowe.

Wykluczające się, jak sama nazwa wskazuje, to takie których iloczyn jest pusty, natomiast rozłączne to takie, dla których nie istnieje obserwacja spełniająca oba na raz.

Jeżeli iloczyn (część wspólna) zdarzeń \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) jest pusty, czyli \(\displaystyle{ A \cap B=\emptyset}\), to nie istnieje zdarzenie elementarne sprzyjające jednocześnie zdarzeniom \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) i prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ P(A \cap B)=0}\)