Niech \(\displaystyle{ (N_{t})_{ t\geqslant 0}}\) będzie procesem Poissona o intensywności \(\displaystyle{ \lambda = 5}\).
a) Obliczyć \(\displaystyle{ P(0<N_{1}<N_{3}, N_{4} \leqslant N_{3})}\)
b) Podać rozkład zmiennej \(\displaystyle{ N_{2} + N_{4} - N_{3}}\)
c) Znaleść gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ U = inf \lbrace t \geqslant 0: N_{t} = 3 \rbrace}\)
a)
\(\displaystyle{ P(0<N_{1}<N_{3}, N_{4} \leqslant N_{3}) = P(N_{3} - N_{1}>0, N_{3}=N_{4}) = (1 - P(N_{3}-N_{1} \leqslant 0)) \cdot P(N_{4} - N_{3}=0 ) = (1 - e^{-2 \lambda})e^{-\lambda}}\)
, bo
\(\displaystyle{ N_{3}-N_{1} \sim P(2\lambda )}\)
\(\displaystyle{ N_{4}-N_{3} \sim P(\lambda)}\)
Chodzi m.in o to że w procesie Poissona liczba sygnałów nie może maleć w czasie, oraz \(\displaystyle{ N_{t} \geqslant 0 \forall t}\) tak?
b)Wystarczy osobno rozpatrzeć zmienne\(\displaystyle{ N_{2} \sim P(2\lambda)}\) oraz \(\displaystyle{ (N_{4}-N_{3}) \sim P(\lambda)}\) (które są niezależne) i korzystając np. z własności f. charakterystycznych odczytać rozkład. Otrzymamy w ten sposób, że \(\displaystyle{ N_{2} + N_{4} - N_{3} \sim P(3 \lambda)}\)
Mam pytanie, co by było, gdybyśmy nie mieli procesu Poissona, tylko 2 niezależne zmienne losowe, np. \(\displaystyle{ A,B}\), obie z rozkładu Poissona z innym parametrem. Jaki rozkład będzie miała wtedy zmienna \(\displaystyle{ A-B}\)? Chodzi mi o to, że używając f. char. (tzn. korzystając z tego że f. char. splotu zm. niezal. będzie iloczynem f. char. zmiennych A oraz (-B)) nie jestem w stanie odczytać rozkładu.
c) Jeśliby oznaczyć \(\displaystyle{ U_{n} = inf \lbrace t \geqslant 0: N_{t} = n \rbrace}\), to wydaje mi się, ze powinno być tak:
\(\displaystyle{ P(U_{n} < t) = P(T_{n}<t)}\), gdzie \(\displaystyle{ T_{n} = \sum_{k=0}^{n}X_{k}}\), natomiast \(\displaystyle{ X_{k}}\) to czas oczekiwania pomiędzy \(\displaystyle{ (k-1)}\)-wszym a \(\displaystyle{ k}\)-tym sygnałem. Wiedząc, że \(\displaystyle{ X_{k} \sim exp(\lambda)}\), będzie że \(\displaystyle{ T_{n} \sim \Gamma(n,\lambda)}\), jako n-krotny splot zmiennych i.i.d
Jeśli tak, to wiemy że szukane p-ństwo można zapisać tak:
\(\displaystyle{ P(U_{n} < t) = \int_{0}^{t} f_{T_{n}}(x)dx}\), gdzie \(\displaystyle{ f_{T_{n}}}\) jest gęstością rozkładu \(\displaystyle{ \Gamma(n, \lambda)}\)
Chciałbym wiedzieć czy dobrze rozumuję.
Pozdrawiam.