które z funkcji są zmiennymi losowymi

[anilahcim]

\(\displaystyle{ \Omega = [0,1], \sigma =\left\{ \Omega, \emtyset, \left[ 0, \frac{1}{2}\right), \left[ \frac{1}{2}, 1 \right] \right) \right\}}\). Na \(\displaystyle{ \sigma}\) określone jest prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P}\). Które z następujących funkcji są zmiennymi losowymi?

\(\displaystyle{ X _{1} \left(w\right)=\left[w+\frac{1}{2}\right]+2}\)

\(\displaystyle{ X _{2} \left(w\right)= \begin{cases} 0, w < \frac{1}{2} \\ 1, w \ge \frac{1}{2} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ X _{3} \left(w\right)= \begin{cases} 0, w < \frac{1}{2}\\ 1, w = \frac{1}{2} \\ 2, w > \frac{1}{2} \end{cases}}\)

Odpowiedź jest taka, że \(\displaystyle{ X_{1}}\) i \(\displaystyle{ X_{2}}\), ale nie wiem dlaczego.

[yorgin]

\(\displaystyle{ X_i}\) jest zmienną losową, gdy między innymi jest to funkcja mierzalna. Które z podanych funkcji są mierzalne?

[anilahcim]

No właśnie nie do końca wiem, dlaczego \(\displaystyle{ X_3}\) jest niemierzalna.
Czy o to chodzi, że, jak wezmę na przykład \(\displaystyle{ f^{-1}(- \infty , 2)=[0,\frac{1}{2}]}\) , to ten zbiór nie należy do sigma ciała?

[yorgin]

Tak, argument poprawny.