Równomierny rozkład prawdopodobieństwa

[leszczu450]

Cześć !

Do założenie tematu natchnął mnie Althorion. Otóż już wiem, że możliwe jest równomierne rozłożenie p-stwa na skończonym zbiorze, zaś niemożliwe jest to dla zbioru przeliczalnego nieskończonego. Wtedy kłóci się to bowiem z aksjomatyką Kołmogorowa.


A teraz chcę pójść jeszcze dalej. Czy możliwe jest równomierne rozłożenie prawdopodobieństwa dla zbioru nieprzeliczalnego ?

Z góry dziękuję za odpowiedzi.

[Althorion]

Tak, jest to możliwe. Niech \(\displaystyle{ \Omega = \RR}\), zaś prawdopodobieństwo będzie równe \(\displaystyle{ P(B) = \int_B f(x) \; \text{d}x}\), gdzie:
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{dla } x\in [a; b] \\ 0 & \text{dla } x\notin [a; b] \end{cases}}\)
dla pewnych \(\displaystyle{ a, b \in \RR}\). Wówczas dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR P(x) = 0}\), \(\displaystyle{ P(\Omega) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \; \text{d}x = \int_{a}^{b} \frac{1}{b-a} \; \text{d}x = 1}\) oraz addytywność przeliczalna jest zachowana (jedna z własności całki Lebesgue’a, dowód znajdziesz w literaturze).

[leszczu450]

Althorion, nie rozumiem dlaczego ten przykład mówi, że p-stwo mogę równomiernie rozłożyć na nieprzeliczalnym zbiorze. Tym zbiorem jest u Ciebie \(\displaystyle{ \RR}\). Rzeczywiście \(\displaystyle{ P(\Omega = \RR)=1}\). Ale co dalej?

[Althorion]

I dalej dostałeś przykład takiego równomiernego rozkładu. \(\displaystyle{ \bigwedge_{x\in\RR} P(x) = 0}\), więc jest takie samo niezależnie od wybranego elementu, zatem faktycznie równomierne. Jest to też „dobre” prawdopodobieństwo, tzn. spełnia ono wszystkie aksjomaty Kołmogorowa.

[leszczu450]

Althorion, to chyba wszystko rozchodzi się, o to, że dalej nie rozumiem co to znaczy równomiernie rozlożyć. Dla mnie onacza to - podzielić na równe kawałki i wtedy prawdopodobieństwo na każdym z tych kawałków będzie równe. Zgadza się?

[Althorion]

Coś takiego. Bardziej formalnie (ale tylko trochę, dalej nie jest to w pełni ścisłe), mówimy że \(\displaystyle{ P(x)}\) jest równomiernym rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega}\), jeśli:
\(\displaystyle{ \bigvee_{p \in \RR} \bigwedge_{x \in \Omega} P(x) = p}\)

[leszczu450]

Althorion, no ale Ty wziałęś konkretne iksy. A jak ja bym podzielił moje \(\displaystyle{ \RR}\) na przedziały pewnej długości. Np, długości \(\displaystyle{ b-a}\). Wtedy równomiernie nie będzie. Więc tak jak mówisz, chodzi o to, że wystarczy jedno konkretne małe \(\displaystyle{ p}\) tak? Nie musi to zachodzić dla dowolnego równomiernego podziału?

[Althorion]

Nie, każdy \(\displaystyle{ x}\), zarówno w przedziale \(\displaystyle{ [a; b]}\), jak i poza nim, ma tę samą wartość prawdopodobieństwa — zero. Żadna konkretna selekcja nie była dokonywana.

Mówię że prawdopodobieństwo jest równomiernie rozłożone, jeśli każdy element przestrzeni probabilistycznej ma taką samą szansę na bycie wylosowanym. Jak je zaczniesz grupować to zaczniesz osiągać różne rezultaty, zależnie od grupowania.
Może i dałoby się dobrać taką funkcję gęstości prawdopodobieństwa (oznaczoną przeze mnie powyżej jako \(\displaystyle{ f(x)}\)), żeby nie tylko wartości prawdopodobieństwa dla konkretnych punktów były równe, ale i dla całych ich przedziałów zadanych w pewien sposób też takie były, ale nie znam się na teorii miary na tyle, by być tego pewnym. Tak na oko potrzebowalibyśmy do tego stworzyć nigdziegęsty zbiór o dodatniej mierze Lebesgue’a i na nim zadać gęstość jak wyżej…

[leszczu450]

Althorion, super !! Jesteś wielki : ) Bardzo mi pomogłeś. Teraz już wszystko jasne.