kilka pytań o prawdopodobieństwo

[leszczu450]

Cześć !

Czytam uważnie książkę Jacka Jakubowskiego i Rafała Sztencla pt. "Wstęp do teorii prawdopodobieństwa". Natrafiam jednak na kilka zdań których nie rozumiem.

1. "Warto zwrócić uwagę, że na zbiorze przeliczalnym, nieskończonym prawdopodobieństwo nie może być rozłożone równo."

Dlaczego to? Co to w ogóle znaczy "rozłożyć" prawdopodobieństwo ?

2. Jest takie twierdzenie, że o ile zbiór zdarzeń elementarnych jest przeliczalny \(\displaystyle{ \Omega = \left\{ \omega_1 , \omega_2 , \ldots \right\} , \left\{ \omega_i\right\} \in F}\), gdzie \(\displaystyle{ F}\) jest sigma ciałem podzbiorów Omegi , to dla każdego \(\displaystyle{ A \subset \Omega}\) mamy:

\(\displaystyle{ P(A)= \sum_{\left\{ i ; \omega_i \in A\right\} }p_i}\),

gdzie \(\displaystyle{ p_i = P(\left\{ \omega_i\right\} )}\).

W pewien sposób jest to dla mnie oczywiste. Następnie jednak autorzy piszą takie zdanie: "Dlatego też każdy ciąg \(\displaystyle{ \left( p_i\right)}\) liczb nieujemnych , dla którego \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty}p_i=1}\) wyznacza prawdopodobieństwo na \(\displaystyle{ \Omega}\). "

O co tutaj chodzi z tym ciągiem ? I z tym wyznaczeniem p-stwa?

3. Dlaczego na zbiorze liczb naturalnych nie można określić rozkładu "równomiernego" ? To odnośni się do pytania nr 1.

Z góry dzięki za odpowiedzi!

[Althorion]

Ad 1.:
Tzn. że nie może być prawdą, że dla dowolnego zdarzenia ze zbioru nieskończonego przeliczalnego jest takie samo. Byłoby to sprzeczne z drugim aksjomatem Kołmogorowa.
Ad 2.:
Prawdopodobieństwo w rozumieniu Kołmogorowa to funkcja o pewnych właściwościach. Istnienie takiego ciągu \(\displaystyle{ p_i}\) zadaje nam tę funkcję jednoznacznie.
Ad 3.:
Vide supra. Gdyby prawdopodobieństwo trafienia konkretnej wartości było dodatnie, to suma takich prawdopodobieństw byłaby nieskończona (więc nie byłaby równa jeden), co jest sprzeczne z drugim aksjomatem Kołmogorowa. Gdyby zaś była równa zero, to suma wszystkich możliwych zdarzeń też miałaby zerowe prawdopodobieństwo (na mocy trzeciego aksjomatu, prawdopodobieństwo jest przeliczalnie addytywne), znowu sprzeczność, z tym samym aksjomatem. Inna sytuacja nie jest możliwa, gdyż pierwszy aksjomat gwarantuje, że wartość prawdopodobieństwa będzie nieujemną liczbą rzeczywistą.

[leszczu450]

Althorion, nie rozumiem Twojego Ad 1. Drugi aksjomat Kołmogorowa to \(\displaystyle{ P(\Omega)=1}\). Z czym tu sprzeczność?

[Althorion]

Podobnie jak w punkcie trzecim:
Chcemy, żeby dla każdego elementu \(\displaystyle{ a \in \Omega}\) prawdopodobieństwo było takie samo. Z pierwszego aksjomatu wiemy, że musi być ono nieujemną liczbą rzeczywistą. Przyjmijmy oznaczenie \(\displaystyle{ \Omega = \{a_1, a_2, \ldots\}}\), wówczas \(\displaystyle{ P\left(\Omega\right) = P\left(\{a_1, a_2, \ldots\}\right)}\) i rozpatrzmy więc dwa możliwe przypadki:
a) \(\displaystyle{ P(a) = 0}\)
Na mocy trzeciego aksjomatu \(\displaystyle{ P\left(\Omega\right)}\) jest równe \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^\infty P\left(a_i\right) = \sum_{i=1}^\infty P(a) = 0 \neq 1}\), sprzeczność.
b) \(\displaystyle{ P(a) > 1}\)
Znowu powołajmy się na trzeci aksjomat, z którego \(\displaystyle{ P\left(\Omega\right) = \sum_{i=1}^\infty P\left(a_i\right) = \sum_{i=1}^\infty P(a) = \infty \neq 1}\), znowu sprzeczność.

[leszczu450]

Althorion, no tak! Dla skończonych jest jasna sprawa! Bo wszędzie jładę \(\displaystyle{ \frac1n}\). Dla przeliczalnych nieskończonych jest już problem. Dzięki wielkie Althorion!