dziwne kostki

[Adifek]

Stosując oznaczenia jak wyżej:

Zdarzenie \(\displaystyle{ A}\) jest równoważne zdarzeniu \(\displaystyle{ \left\{ X>Y\right\} \cup \left\{ X<Y\right\} \Leftrightarrow X\neq Y \Leftrightarrow \left\{ X=Y\right\}^{c}}\).

Zdarzenie \(\displaystyle{ B}\) jest równoważne zdarzeniu \(\displaystyle{ \left\{ X+Y<6\right\}}\).

Ostatecznie:

\(\displaystyle{ P(A \setminus B) = 1- P(X=Y ) - P( X+Y<6) + P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=2)}\)

Przez chwilę był błąd, bo sobie wziąłem tamte dziwne kostki z pierwszego zadania

[leszczu450]

Adifek, znów nie rozumiem ostatniej linijki ;/

[Adifek]

Mamy tak:

\(\displaystyle{ A = \left\{ X=Y\right\}^{c}}\), czyli wywalamy zdarzenia \(\displaystyle{ \left\{ X=Y=i\right\}}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,3,4,5,6}\).

Od \(\displaystyle{ A}\) odejmujemy \(\displaystyle{ B}\), czyli wywalamy dodatkowo \(\displaystyle{ \left\{ X+Y<6\right\}}\).

No ale teraz zauważamy, że prawdopodobieństw nie możemy tak na pałę odjąć:

W końcu zdarzenia \(\displaystyle{ \left\{ X=Y=1\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ \left\{ X=Y=2\right\}}\) siedzą w \(\displaystyle{ B}\). Żeby nie odejmować tych prawdopodobieństw dwukrotnie musimy je dodać Coś jak zasada włączeń/wyłączeń

[leszczu450]

Adifek, wszystko jasne : )

Jednak nadal mam mały problem ze zrozumieniem samej metody. Czym jestem \(\displaystyle{ X}\) , czym \(\displaystyle{ Y}\) ? To są zbiory? Zdarzenia? O co dokładnie chodzi w tej metodzie? Mógłbyś po krótce opowiedzieć jak to zrozumieć?

[Adifek]

\(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) to zmienne losowe (a więc funkcje). Można określić ich rozkłady, dystrybuanty itd. Będziecie z pewnością o tym mówić.

Pisząc np. \(\displaystyle{ P(X=2)}\) rozumiemy to jako \(\displaystyle{ P\left( \left\{ \omega: X(\omega ) =2\right\} \right)}\), a więc prawdopodobieństwo zbioru tych zdarzeń elementarnych, dla których zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 2}\). Przyjęło się jednak ten zapis upraszczać tak jak wyżej to już napisałem. Czasem, dla podkreślenia, że mamy do czynienia ze zbiorami (wszak prawdopodobieństwo jest funkcją, której argumentami są zbiory) dodajemy wąsiki

[leszczu450]

Adifek, czyli można powiedzieć, że określam prawdopodobieństwo pewnego zbioru. Jakiego zbioru? Ano zbioru tych małych omeg, dla których funkcja \(\displaystyle{ X}\)(dziwnie nazywana zmienna losową) przyjmuje określoną wartość. Zgadza się?

[Adifek]

Tak.

[leszczu450]

Adifek, super ! Język zmiennych losowych wydaje się być o wiele przyjemniejszy niż język do którego przyzwyczajany byłem w liceum.

Moje kolejne zadanie mogę bez trudu zrobić na palcach. Jednak chciałbym do tego podejść rownież od strony zmiennych losowych. Nadal mam problem jak to rozpisywać, tak jak Ty to robisz. Mógłbyś tym razem nie dawać mi rozwiązania, a jedynie podać wskazówki?

Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na pierwszej kostce wypadło dwa razy mniej oczek niż na drugiej?

Znowu określam dwa zdarzenia. \(\displaystyle{ A}\)- na pierwszej kostce jest dwa razy mniej oczek niż na drugiej. I \(\displaystyle{ B}\)- na drugiej kostce jest dwa razy tyle co na pierwszej. Jak ruszyć dalej?

[pyzol]

Można też stworzyć grę. Wyrzucam większą ilość oczek to wygrywam złotówkę, wyrzucam mniejszą, to przegrywam. Wyrzucam taką samą jestyem na zero. Skoro Rzuty na kostkach są jednakowo prawdopodobne możemy przyjąć, że podczas 36 rzutów każdy przypadek pojawi się raz (oczywiście nie jest to prawda, jednak to intuicyjne podejście do wartości oczekiwanej...)
Policzmy bilans dla rzucania pierwszą kostką.
Wyrzucając \(\displaystyle{ 2}\) w dwóch przypadkach wygrywamy w czterech przegrywamy więc bilans \(\displaystyle{ -2}\).
Wyrzucając \(\displaystyle{ 3}\) w dwóch przypadkach wygrywamy w czterech przegrywamy więc bilans \(\displaystyle{ -2}\).
Trójka pojawia się dwa razy na kostce więc jeszcze raz ją liczymy \(\displaystyle{ -2}\).
Wyrzucając \(\displaystyle{ 6}\) w trzech przypadkach wygrywamy w dwóch przegrywamy no i remis... więc bilans \(\displaystyle{ +1}\).
\(\displaystyle{ 6}\) mamy 3 razy więc \(\displaystyle{ +1}\) no i \(\displaystyle{ +1}\).
Tak sobie zliczając \(\displaystyle{ -2+-2+-2+1+1+1=-3}\) nie opłaca się grać pierwszą kostką.

[leszczu450]

pyzol, hmm ciekawe podejście : ) Dzięki wielkie! Każdy pomysł się liczy.

[Adifek]

Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na pierwszej kostce wypadło dwa razy mniej oczek niż na drugiej?

Znowu określam dwa zdarzenia. A- na pierwszej kostce jest dwa razy mniej oczek niż na drugiej. I B- na drugiej kostce jest dwa razy tyle co na pierwszej. Jak ruszyć dalej?

Na palcach możesz sobie rozpisać. Zauważ, że to co napisałeś jest bez sensu - A i B to dokładnie to samo

Dla zmiennych losowych, chcemy zdarzenia \(\displaystyle{ \left\{ 2X=Y \right\}}\).

[leszczu450]

Adifek, jakoś ciężko mi wejść w ten język dużych iksów i dużych igreków : )