Wszystko o "Rzut dwiema kostkami"

[leszczu450]

Odpowiedź na pierwsze pytanie: \(\displaystyle{ \frac{2}{36}}\)
Odpowiedż na drugie pytanie : \(\displaystyle{ \frac{1}{36}}\)

[Kacperdev]

1. "Mamy dwie kostki: zółtą i czarną. Oblicz prawdopodobieństwo, że na żółtej wypadnie 1 a na czarnej 2"

żółta - ma wypaść jedynka... czyli prawdopodobieństwo: \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)

czarna - ma wypaść dwójka... znowu \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)

ma zajść pierwsze i drugie (przy okazji są niezależne) czyli iloczyn: \(\displaystyle{ \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}}\)

2. "Mamy dwie kostki: zółtą i czarną. Oblicz prawdopodobieństwo, że na żółtej wypadnie 1 i na czarnej 1"

żółta - ma wypaść 1 - \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)
czarna - ma wypaść 1 \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)

niezależne i czesc wspolna.... \(\displaystyle{ \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}}\)

[leszczu450]

Kacperdev, czyli prawdopodobieństwo jest takie samo gdy mam pokolorowane kostki. I jak to się ma do tego o czym wcześniej rozmawialiśmy?

[Kacperdev]

Tak, takie samo.

I o ile ciąg (1,2) to co innego niż ciąg (2,1) to ciąg (1,1) będzie zawsze równy (1,1) niezależnie od nazwania, pokolorowania etc. Może takie podejście jest już logiczniejsze?

tak. To chyba dość logiczne. Zapomnij o zbiorach, pamietaj że mówimy o obiektach realnych... namacalnych... kostkach

[leszczu450]

Kacperdev, a na chwilę wróćmy jeszcze do zbiorów. Jeśli rozpatrujemy dwuelementowe zbiory, to rzeczywiście jest ich \(\displaystyle{ 21}\). I co się psuje w takim podejściu? Dlaczego tutaj coś się psuje?

[Kacperdev]

Takie podejście sygnalizuje, że te kostki "wiedzą" o swoich koleżeńskich wynikach. Coś na zasadzie prawdopodobieństwa warunkowego. "Rzucamy dwiema kostkami... na kostce a wypadło 1 ... kostka b widzi to i musi przybrać jakąs inna wartośc"

A przecież to nieprawda. Te kostki są od siebie całkowicie niezależne.

Kończą mi sie pomysły na inne sposoby tłumaczenia

[leszczu450]

Kacperdev, oh man... musze to mocno przetrawić.

[norwimaj]

Tak jak pisałem w jednym z moich tematów- mam w ręce dwie kostki. Identyczne, niczym się nie różnią od siebie.

To niemożliwe. W świecie makroskopowym wszystko jest rozróżnialne. Choćby były to kostki wyprodukowane w jednej fabryce, takim samym sposobem, to i tak się różnią przynajmniej małą ryską na powierzchni. Dlatego w zadaniach z prawdopodobieństwa (nie z kombinatoryki) kostki zawsze są rozróżnialne. Jest to w zgodzie z wynikami doświadczalnymi. Podobno w świecie mikroskopowym wszystko odbywa się w inny sposób i tam czasem cząstki należy traktować jako nierozróżnialne.

[leszczu450]

norwimaj, o ! Super! Dzięki za odpowiedź. Czyli kostki mogę traktować jako pokolorowane. Wtedy tak- mam 36 różnych wyników. A samo pojęcie kostek nierozróżnialnych jest po prostu błędem, zgadza się?

[norwimaj]

Czy ja wiem, czy jest błędem? W zasadzie tak. Jest to przyjęcie błędnego modelu doświadczenia, tzn. modelu prowadzącego do wyników sprzecznych z doświadczeniem.

Rozwiązanie takiego zadania składa się z dwóch etapów. Pierwszy, to wybór przestrzeni probabilistycznej dla doświadczenia i ustalenie zdarzeń sprzyjających, których prawdopodobieństwa chcemy obliczyć. Ten etap nie jest ściśle związany z matematyką. Opiera się na doświadczeniu albo przeświadczeniu. W tym konkretnym wypadku może być to przeświadczenie o prawdziwości pewnych filozoficznych założeń:
1. kostki są rozróżnialne,
2. wyniki na poszczególnych kostach są niezależne,
3. dla pojedynczej kostki każdy z sześciu wyników jest jednakowo prawdopodobny.

(Pierwsze założenie jest potrzebne, żeby móc wysłowić drugie)

Drugi etap, to obliczenie prawdopodobieństwa w ustalonym wcześniej modelu. Ten etap jest już czysto matematycznym rozumowaniem, w szczególności jego poprawność jest weryfikowalna.

[leszczu450]

norwimaj, mówisz, że kostki muszą się czymś różnić. Że tak nie ma w prawdziwym świecie. I że musi być choć mała ryska różniąca kostki. Ale przecież to tylko model. Cała fizyka przecież bazuje na modelach. A matematyka w sumie w dużej części też. Punkt jako obiekt bez wymiaru i bez masy. Przecież logicznie myśląc to zawsze jak weźmiesz do ręki pisak i zrobisz kropkę to będzie miała ta kropka jakąś masę i jakiś wymiar.

Więc mówienie, że kostki muszą być rozróżnialne jest dla mnie dziwne.

[norwimaj]

Model z doskonale identycznymi kostkami można oczywiście rozważać. Jednak pojawiają się dwa pytania:
1. Co później zrobić z wiedzą płynącą z takiego modelu? Czy wiedza ta będzie miała jakiekolwiek zastosowanie do prawdziwych kostek w prawdziwym świecie?
2. Jak w takim modelu określić prawdopodobieństwo? Wcześniej pisałem, że w oparciu o doświadczenie lub przeświadczenie, ale trudno jest mieć doświadczenie z czymś, co nie istnieje, i trudno jest mieć o czymś takim przeświadczenie. Jeśli kiedyś w świecie pojawią się nierozróżnialne kostki, to będzie można zbadać doświadczalnie, jaki model należy do nich stosować.


A odnośnie do modeli ogólnie, na przykład teoria punktów materialnych jest stosowana do ciał o małych rozmiarach (w porównaniu z odległościami między ciałami). W ten sposób, poprzez odwołanie się do czegoś, co istnieje w rzeczywistości, można mówić o zgodności/niezgodności teorii z doświadczeniem. Dla nierozróżnialnych kostek takim rzeczywistym odpowiednikiem byłyby kostki wytworzone w ten sam sposób. Dla takich kostek możemy sprawdzić teorię doświadczalnie.

[leszczu450]

norwimaj, dobrze. Z grubsza rozumiem co masz na myśli. Ale powróćmy do kostek. Myślisz, że dałoby radę stworzyć odpowiednią teorię do kostek nierozróżnialnych? Czy dałoby się z tego wyprowadzić odpowiednie rzeczy i przede wszystkim czy wtedy prawdopodobieństwo byłoby takie samo jak w przypadku rozróżnialnych? I czy to co mówi Kacper- rzucanie dwiema kostkami naraz i traktowanie wyniku jak zbiór jest rzeczywiście błędnym podejściem?

[norwimaj]

Można rozważać model, w którym zdarzeniami elementarnymi są multizbiory zamiast ciągów. Żeby to było zgodne z doświadczeniem, to funkcja prawdopodobieństwa powinna przypisywać multizbiorowi \(\displaystyle{ \{i,i\}}\) wartość \(\displaystyle{ \frac1{36}}\) i multizbiorowi \(\displaystyle{ \{i,j\}}\), dla \(\displaystyle{ i\ne j}\), wartość \(\displaystyle{ \frac1{18}}\). To prowadzi do tych samych wyników, co model klasyczny z rozróżnialnymi kostkami. Model z rozróżnialnymi kostkami jest prostszy i dlatego to on jest używany.

[leszczu450]

norwimaj, nie rozumiem Twojej poprzedniej wiadomości. Co to są multizbiory? zbiory złożone z więcej niż jednego elementu? I tego co dalej napisałeś o funkcji p-stwa również nie rozumiem. Mógłbyś więcej napisać?

PS: 224654.htm#p833433

Tutaj jeden użytkownik to bardzo dobrze opisał. Jak widać nie tylko w moim temacie miodzio1988 źle zinterpretował wątpliwości.