Wszystko o "Rzut dwiema kostkami"

[leszczu450]

Cześć !

Zabrałem się ostatnio poważnie do tematu rzucania kostkami i liczenia prawdopodobieństwa pewnych zdarzeń. Zauważyłem, że na olbrzymi problem natrafiam już na samym początku. Do sprawy podchodze trochę inaczej niż kiedyś w liceum. Zadaję sobie pytanie o to, ile jest wszystkich możliwych wyników przy rzucie dwiema kostkami. Na chwilę sam zapominam jaki jest prawidłowy wynik. Wszyscy już od dawna wiemy, że to \(\displaystyle{ 36}\). Ale na chwilę o tym zapomnijmy! Załóżmy, że cała matematyka znika i trzeba od nowa wszystko wyjaśnić. To co udowodnię i to do czego dojdę w rozważaniach musi być zatem na 100% dobre. Bo inaczej matematyka nie będzie "działać". : ) Tak jak pisałem w jednym z moich tematów- mam w ręce dwie kostki. Identyczne, niczym się nie różnią od siebie. Rzucam raz po razie. Jak dla mnie - jest tylko \(\displaystyle{ 21}\) wyników. Mianowicie
11 12 13 14 15 16
22 23 24 25 26
33 34 35 36
44 45 46
55 56
66

Dlaczego mam traktować wynik 12 i 21 jako dwa różne wyniki? Dlaczego wyniki które otrzymuje traktować mam jak ciągi- uporządkowane, coś gdzie liczy się kolejność?

Dlaczego nie mogę traktować otrzymywanych wyników jak zbiory? Zbiór złożony z elementu \(\displaystyle{ 1}\) i elementu \(\displaystyle{ 2}\) to przecież ten sam zbiór co zbiór złożony z \(\displaystyle{ 2}\) i z \(\displaystyle{ 1}\).

Jeden z użytkowników napisał mi, że wtedy takie podejście od strony zbiorów nie jest dobre, bo zdarzenia, które wypisałem nie są równo prawdopodobne. Hmm. Dlaczego w sumie? Dlaczego prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia 12 jest większe niż prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia 33? Nie jestem w stanie tego zrozumieć.

Kolejne moje pytanie. Czy czym innym będzie rzut dwiema kostkami naraz, a czym innym jedną, a póżniej drugą? Wydaje mi się, że to nie ma wpływu. Na pewno nie ma w sumie. Ale gdy myślę sobie o tym, i rozpisuje sobie co się dzieje w jednej, a co w drugiej sytuacji to wychodzi mi zupełnie co innego. Gdy rzucam jedną, a potem drugą, to automatycznie wchodzi mi tam "kolejność". I wtedy tak- 12 to co innego niż 21. Ale gdy rzucam dwiema kostkami. To już nie ma znaczenia 12 =21.

Czy ktoś z Was mógłby to dobrze wyjaśnić? Nie chcę od Was komentarza typu: to oczywiste , to widać, wiadomo że 11 wypadnie tylko raz, a 12(21) dwa razy.

Z góry dziękuję.

[miodzio1988]

Czy czym innym będzie rzut dwiema kostkami naraz, a czym innym jedną, a póżniej drugą? Wydaje mi się, że to nie ma wpływu. Na pewno nie ma w sumie.

Zawsze możesz powiedzieć, że naraz rzucałes, nikt się nie dowie!

Eksperymentalnie to sprawdź. Rzuć tysiąc razy i zobacz jakie prawdopodobieństwo rzeczywiście wychodzi

Zdarzenie 11 jest dwa razy bardziej prawdopodobne niż 12, ponieważ pierwsza sytuacja odpowiada jednemu zdarzeniu elementarnemu w przypadku kostek rozróżnialnych, a druga sytuacja dwóm zdarzeniom elementarnym,

Tego nie rozumiesz? Bo to jest najważniejsze w tym

[leszczu450]

miodzio1988, tak , tego nie rozumiem. Wiem, że to się wydaje logiczne i można tutaj myśleć, że w sumie to nie ma o czym gadać. Ale nie podoba mi się takie podejście. Dlaczego to niby wyrzucenie dwóch jedynek jest mniej prawdopodobne niż wyrzucenie 1 a potem 2.

I mógłbyś również odpowiedzieć na innej moje pytania?

[miodzio1988]

Łatwe jest to sobie do wyobrażenia. Jeśli w to nie wierzysz ( nie jest to oczywiste, bo straaaaasznie jest) i wydaje Ci się to mało logiczne to eksperymentalnie rzucaj 100 razy i zobacz co częściej wypada. Próbę powtórz sto razy.

Jakie tam masz inne pytania?

[leszczu450]

miodzio1988, jeśli to wszystko co masz do powiedzenia to dziękuję za pomoc. Rzucanie rozpoczne zaraz. Dam Tobie znać za jakiś czas jakie wyniki otrzymałem.

[Kacperdev]

Dlaczego mam traktować wynik 12 i 21 jako dwa różne wyniki? Dlaczego wyniki które otrzymuje traktować mam jak ciągi- uporządkowane, coś gdzie liczy się kolejność?

Ok, potraktuj że są to nierozróżnialne. Powiedz mi jakie będzie prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch jedynek.

[miodzio1988]

No właśnie, to tam rzucaj, a jak już rzucisz 1000 razy to zerknij na ten link:

344653.htm#p5141182

Tifulo zrozumial, może i Ty zrozumiesz

[leszczu450]

Kacperdev, jest tylko jedna opcja na wyrzucenie 11. Jedna z 21.

To są wszystkie:
11 12 13 14 15 16
22 23 24 25 26
33 34 35 36
44 45 46
55 56
66

[Kacperdev]

Moim zdaniem Twój problem polega na tym, że zbyt bardzo zagłebiasz się w abstrakcję. Prawdopodobieństwo nie jest oderwane od rzeczywistości.

Z twojego rozumowania wynika, że prawdopodobieństwo wyrzucenia 1 i 2 jest tak samo prawdopodobne jak 2 i 2 np.

Ale w końcu mamy dwie kostki i jak spojrzymy rzeczywistości w oczy to widać, że wyrzucenia 2 i 1 jest bardziej prawdopodobne (bo na kostkach też można wyrzucić 1 i 2 czyli odwrotnie) od np. 2 i 2.

Po refleksji wydaje mi się, że w ogóle mówienie o nierozróżnialności kostek nie ma sensu bo co to znaczy rzeczywiscie... że są jedna zmutowana kostką? Masz dwie kostki... czyli jakby z założenia w pewnym sensie są rozróżnialne.

[leszczu450]

Kacperdev, no aj też tak własnie myślę, ze jaka jest różnica między sytuacją gdy mówimy- rozróżnialne kostki/ nierozróżnialne kostki. Cz to, ze jedną pomaluje na zielono, a drugą na żółto zmieni mi p-stwo? W sumie to nie Bo to tylko kolor. Więc jedynym rozumowaniem, które mnie na chwilę obecną przekonuje jest : maluje kostki na dwa kolory. Wtedy rzeczywiście kolejność ma znaczenie. Wówczas mam 36 różnych opcji. A, że kolor kostki nie ma znaczenia to również i dla dwóch identycznych kostek będę miał 36 zdarzeń.

Ale gdy tak sobie o tym myślę to wydaje mi się, że 1czarna, 1zólta będzie czym innym niż 1żólta, 1 czarna. I takim rozumowaniem dochodzi mi 6 dodatkowych możliwości...

[Kacperdev]

Ale gdy tak sobie o tym myślę to wydaje mi się, że 1czarna, 1zólta będzie czym innym niż 1żólta, 1 czarna. I takim rozumowaniem dochodzi mi 6 dodatkowych możliwości...

Jakby mogło wyglądać polecenie.

"Mamy dwie kostki: czarną i żółtą. Policz prawdopodobieństwo, że na czarnej i na żółtej wypadnie jedynka"

Czemu miałoby dochodzić 6 zdarzeń. 1żółta i 1czarna to przecież dokładnie to samo co 1czarna i 1żółta.

"i" jest przemienne .

[leszczu450]

Kacperdev, no jak to? To własnie zaprzeczasz temu, że wylosowanie \(\displaystyle{ (2,3)}\) to to samo co wylosowanie \(\displaystyle{ (3,2)}\).

Według mnie wszystkie możliwe opcje to
1Ż1C
1C1Ż
1Ż2C
1Ż3C
1Ż4C
1Ż5C
1Ż6C
2Ż1C
2Ż2C
2C2Ż
2Ż3C
2Ź4C
2Ż5C
2Ż6C
3Ż1C
3Ż2C
3Ż3C
3C3Ż
3Ż4C
3Ż5C
3Ż6C
4Ż1C
4Ż2C
4Ż3C
4Ż4C
4C4Ż
4Ż5C
4Ż6C
5Ż1C
5Ż2C
5Ż3C
5Ż4C
5Ż5C
5C5Ż
5Ż6C
6Ż1C
6Ż2C
6Ż3C
6Ż4C
6Ż5C
6Ż6C
6C6Ż

[Kacperdev]

1Ż1C
2Ż2C
...

To wszystko duplikaty.

Weźmy zadanie:

"Mamy dwie kostki: zółtą i czarną. Oblicz prawdopodobieństwo, że na żółtej wypadnie 1 a na czarnej 2"

Odp. ?

i drugie:
"Mamy dwie kostki: zółtą i czarną. Oblicz prawdopodobieństwo, że na żółtej wypadnie 1 i na czarnej 1"

W oby przypadkach moc omegi to 36. Wyniki \(\displaystyle{ \left( 1 \hbox{ żólta},1 \hbox{ czarna}\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( 1 \hbox{ czarna},1 \hbox{ żólta}\right)}\) nie są brane jako dwa! Popatrz dokładnie.

[leszczu450]

Kacperdev, no ewidentnie tu czegoś nie mogę załapać. I Ty i ja wiemy, ze tych zdarzeń jest 36. I że kolor kostek na nic nie wpływa. I że to czy je ponumeruje czy pokoloruje to tylko robocze zapiski... Wpadłem na coś jeszcze innego. Koloruje kostki. Zatem kolejność ma znaczenie. Bo automatycznie zadanie jest wtedy powiązane z kolejnością- ciąg. I o ile ciąg \(\displaystyle{ (1,2)}\) to co innego niż ciąg \(\displaystyle{ (2,1)}\) to ciąg \(\displaystyle{ (1,1)}\) będzie zawsze równy \(\displaystyle{ (1,1)}\) niezależnie od nazwania, pokolorowania etc. Może takie podejście jest już logiczniejsze?

[Kacperdev]

Odpowiedz na moje dwa polecenia. To zweryfikuje czy jesteś na dobrej drodze.