Gra w 2^k z ograniczeniem

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
porfirion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 319
Rejestracja: 6 gru 2011, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 26 razy

Gra w 2^k z ograniczeniem

Post autor: porfirion »

Istnieje taka dość znana gra dwuosobowa. Osoba \(\displaystyle{ A}\) płaci \(\displaystyle{ B}\) kwotę \(\displaystyle{ K}\) za to, że w ogóle \(\displaystyle{ B}\) z nią zagra. I teraz rzucają monetą, tak długo, aż wypadnie pierwsza reszka, po czym \(\displaystyle{ B}\) płaci \(\displaystyle{ 2^{k}}\) gdzie \(\displaystyle{ k}\) to liczba orłów które wypadły podczas rzucania (w szczególności \(\displaystyle{ 2^{0}=1}\)). Pytanie brzmi ile opłaca się osobie \(\displaystyle{ A}\) zgodzić zapłacić za udział w grze?

No i to jest chyba dość proste, bo wartość oczekiwana \(\displaystyle{ A}\) to:
\(\displaystyle{ \sum_{ n=0 }^{ \infty } \frac{2^{n}}{2^{n+1}}= \sum_{ n=0 }^{ \infty } \frac{1}{2}= \infty}\)
Więc opłaca się zapłacić dowolnie dużo.

Ale co jeśli \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) postanowią zagrać na tych samych warunkach \(\displaystyle{ L}\) razy po kolei, i umówią się, że \(\displaystyle{ B}\) przegrywa sumarycznie nie więcej niż \(\displaystyle{ S}\)? Jak teraz policzyć wartość oczekiwaną?
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Gra w 2^k z ograniczeniem

Post autor: Kartezjusz »

Niech \(\displaystyle{ S \ge 2^{T}}\) dla pewnego\(\displaystyle{ T}\).
porfirion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 319
Rejestracja: 6 gru 2011, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 26 razy

Gra w 2^k z ograniczeniem

Post autor: porfirion »

Nadal nie wiem jak... Da się to ładnie policzyć/oszacować ?


Ostatnio przesunięty w górę 27 kwie 2014, o 11:57 przez: porfirion.
ODPOWIEDZ