W zabawie mikołajkowej bierze udział n osób. Przed wejściem każdy z uczestników wkłada prezent do worka, a w trakcie zabawy Mikołaj rozdaje prezenty uczestnikom zabawy. Jakie jest prawdopodobieństwo Pk zdarzenia, że dokładnie k osób otrzymało swoje prezenty, dla k=0,1,2,...,n ?
Ludzie dobrej woli pomóżcie
Zabawa mikołajkowa i prezenty
-
Arbooz
- Gość Specjalny
- Posty: 357
- Rejestracja: 13 gru 2004, o 20:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białogard/Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 7 razy
Zabawa mikołajkowa i prezenty
Niech najpierw k osób wyciągnie swoje prezenty: pierwsza osoba robi to z p_1=1/n, druga z p_2=1/(n-1) itd.
Zatem prawdopodobieństwo wylosowania przez k osób swoich prezentów jest równe 1/[n*(n-1)*...*(n-k)]
Prawdopodobieństwo, że pozostałe osoby wylosują nieswoje prezenty wynosi [(n-k-1)/(n-k)]*[(n-k-2)/(n-k-1)]*...*(1/2) = 1/(n-k)
Zatem prawdopodobieństwo wybrania przez dokładnie k OKREŚLONYCH osób swoich prezentów jest równe 1/[n*(n-1)*...*(n-k)*(n-k)]
należy to przemnożyć jeszcze przez liczbę możliwych wyborów owych k osób, czyli przez (n po k). Zatem szukane prawdopodobieństwo to:
1/[n*(n-1)*...*(n-k)*(n-k)] * [n*(n-1)*...*(n-k)]/[1*2*...*(n-k)] = 1/[1*2*3*...*(n-k)*(n-k)]
Zatem prawdopodobieństwo wylosowania przez k osób swoich prezentów jest równe 1/[n*(n-1)*...*(n-k)]
Prawdopodobieństwo, że pozostałe osoby wylosują nieswoje prezenty wynosi [(n-k-1)/(n-k)]*[(n-k-2)/(n-k-1)]*...*(1/2) = 1/(n-k)
Zatem prawdopodobieństwo wybrania przez dokładnie k OKREŚLONYCH osób swoich prezentów jest równe 1/[n*(n-1)*...*(n-k)*(n-k)]
należy to przemnożyć jeszcze przez liczbę możliwych wyborów owych k osób, czyli przez (n po k). Zatem szukane prawdopodobieństwo to:
1/[n*(n-1)*...*(n-k)*(n-k)] * [n*(n-1)*...*(n-k)]/[1*2*...*(n-k)] = 1/[1*2*3*...*(n-k)*(n-k)]