Działania na zbiorach

[jarodol]

1. Wiadomo, że \(\displaystyle{ P(A \cap B')=P(B \cap A')}\) oraz \(\displaystyle{ P(A \cap B)=P(A' \cap B') = 0,2}\). Oblicz \(\displaystyle{ P(A-B)}\).

2. Wykaż, że gdy \(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{3}}\) i \(\displaystyle{ P(B')= \frac{1}{2}}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \le P(A \cup B) \le \frac{5}{6}}\).

[rtuszyns]

Czy coś próbowałeś? Jeżeli tak, to pokaż jak.

[kerajs]

1.Narysuj sobie zbiory A i B . Cała kartka (albo wydzielony prostokąt je zawierające) to \(\displaystyle{ \Omega}\)

\(\displaystyle{ \Omega=\left( A \cap B\right) +\left( A' \cap B\right) +\left( A \cap B'\right) +\left( A' \cap B'\right)}\)
Dzieląc obustronnie przez \(\displaystyle{ \Omega}\) masz
\(\displaystyle{ 1=P\left( A \cap B\right) +P\left( A' \cap B\right) +P\left( A \cap B'\right) +P\left( A' \cap B'\right)}\)
Oblicz teraz brakujące Ci prawdopodobieństwo

2\(\displaystyle{ P\left(A \subset B \right) \le P\left(A \cup B \right) \le P\left(A \right)+P\left( B \right)}\)

[jarodol]

ok pierwsze chyba kapuje ale drugie nadal nie do ogarniecia...

[kerajs]

Suma zbiorów mieści się między sytuacją gdy jeden zbiór zawiera się w drugim (tu \(\displaystyle{ A}\) zawiera się w \(\displaystyle{ B}\) bo jest mniejszy) a sytuacją gdy oba zbiory są rozłączne.

Można też inaczej:
\(\displaystyle{ P\left( A \cup B\right)= P\left( A \right)+P\left( B\right)-P\left( A \cap B\right)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ 0 \le P\left( A \cap B\right) \le P\left(\mbox{mniejszy ze zbiorów}(A,B)\right)}\)