Dla zdefiniowanej dystrybuanty wyznaczyć funkcję gęstości

[speedlife]

Witam, mam problem z wyznaczeniem funkcji gęstości z danej dystrybuanty.
Wiem, że \(\displaystyle{ F'(x)=f(x)}\) . Jednak lata bez matematyki zrobiły swoje i już nie pamiętam jak policzyć pochodną.

Zadanie 1
Dana jest następująca dystrybuanta: \(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0 \ dla \ x \le 0 \\ 1- e^{- \frac{x}{7,6} } dla \ x > \ 0 \end{cases}}\)

Korzystałam z tego że: \(\displaystyle{ (e^{-x})' =-e ^{-x}}\) oraz wzoru pochodnej na iloraz

a. Wyznaczyć funkcję gęstości czyli:


\(\displaystyle{ f(x)=F'(x)=(1-e^{- \frac{x}{7,6}})'=(1)'-(e^{- \frac{x}{7,6}})'=0- - e^{- \frac{x}{7,6}} \cdot (\frac{x}{7,6})'=e^{- \frac{x}{7,6}} \cdot \frac{(x)' \cdot 7,6+x \cdot (7,6)'}{7,6 ^{2} }=e^{- \frac{x}{7,6}} \cdot \frac{7,6}{7,6 _{2} }}\)

Doszłam do tego etapu. Myślę jednak, że czegoś tu brakuje, a moje luki w pamięci niestety mi nie podpowiadają jak to zrobić dobrze :/ Jakby ktoś mógł pomóc.

Jeszcze proszę o sprawdzenie podpunktu b i c.

b. Wyznaczyć prawdopodobieństwo:

Wykorzystuję wzór: \(\displaystyle{ P=(a<X<b) = F(b) -F(a ^{+} )}\)

a) \(\displaystyle{ P=(1<X<3) = F(3) -F(1) = (1-e ^{- \frac{3}{7,6} })-(1-e ^{- \frac{1}{7,6} }) =0,449}\)
b) \(\displaystyle{ P=(-1<X<3) = F(3) -F(-1) = (1-e ^{- \frac{3}{7,6} })-0) =0,326}\)

c. Wyznaczyć medianę \(\displaystyle{ x _{0,5}}\) , kwartyle \(\displaystyle{ x _{0,25} \ i \ x _{0,75}}\) oraz decyle \(\displaystyle{ x _{0,1} \ i \ x _{0,9}}\). Uporządkuj kwantyle wg wzrastającej wartości p w \(\displaystyle{ x _{p}}\)

Dla zmiennej losowej ciągłej kwantyl rzędu r wynosi : \(\displaystyle{ F(x _{p} )=p}\)
czyli:

wersja 1( raczej zła??):

\(\displaystyle{ F(x _{0,1} )=0,1}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ x _{0,1}=0,1}\)
\(\displaystyle{ F(x _{0,25} )=0,25}\)\(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ x _{0,25}=0,25}\)
\(\displaystyle{ F(x _{0,5} )=0,5}\)\(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ x _{0,5}=0,5}\)
\(\displaystyle{ F(x _{0,75} )=0,75}\)\(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ x _{0,75}=0,75}\)
\(\displaystyle{ F(x _{0,9} )=0,9}\)\(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ x _{0,9}=0,9}\)

wersja 2:
\(\displaystyle{ F(x _{0,1} )=1-e ^{- \frac{0,1}{7,6} }=0,013}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ x _{0,1}=0,013}\)
\(\displaystyle{ F(x _{0,25} )=1-e ^{- \frac{0,25}{7,6} }=0,0323}\)\(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ x _{0,25}=0,0323}\)
\(\displaystyle{ F(x _{0,5} )=1-e ^{- \frac{0,50}{7,6} }=0,0636}\)\(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ x _{0,5}=0,0636}\)
\(\displaystyle{ F(x _{0,75} )=1-e ^{- \frac{0,75}{7,6} }=0,0940}\)\(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ x _{0,75}=0,0940}\)
\(\displaystyle{ F(x _{0,9} )=1-e ^{- \frac{0,9}{7,6} }=0,111}\)\(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ x _{0,9}=0,111}\)

Pozdrawiam

[chris_f]

Niestety pamięć Cię zawodzi. Nie potrzeba tu żadnej pochodnej ilorazu. Mamy bowiem
\(\displaystyle{ \left(1-e^{-\frac{x}{7,6}}\right)'=\frac{1}{7,6}e^{-\frac{x}{7,6}}}\)

[speedlife]

W sumie napisałeś to samo co ja, tylko ja nie skróciłam \(\displaystyle{ 7,6 z 7,6 ^{2}}\) Użyłeś jakiegoś wzoru?

[chris_f]

Nie był potrzebny jakiś specjalny wzór, choć jak się uprzeć, to zastosowałem wzór na pochodną funkcji złożonej.
Mianowicie brałem funkcję \(\displaystyle{ f(x)=e^{-\frac{x}{a}}}\). Pochodna tej funkcji to
\(\displaystyle{ \left(1-e^{-\frac{x}{7,6}}\right)'=-\left(-\frac{x}{7,6}\right)'e^{-\frac{x}{7,6}}}\)
bo pochodna z \(\displaystyle{ e^{czegos}}\) jest równa \(\displaystyle{ e^{czegos}}\) pomnożona przez pochodną tego \(\displaystyle{ czegos}\).

[speedlife]

Yhym. Próbuje robić sprawdzenie czyli obliczyć całkę z tego:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{1}{7.6} \cdot e^{- \frac{x}{7.6} } = \frac{1}{7.6} \int_{0}^{ \infty }e ^{- \frac{x}{7.6} } = \frac{1}{7.6} \ \cdot \ e^{- \frac{x}{7.6} } | ^{ \infty } _{0}= \frac{1}{7.6} \cdot 1-e ^{- \frac{x}{7.6} }}\)

wynik ma się nijak do tego wyjściowego \(\displaystyle{ 1 - e ^{- \frac{x}{7.6} }}\) .

Co w takim razie jest źle??

[chris_f]

Zapominasz o stałej całkowania. Wystarczy do Twojego wyniku całkowania dodać
\(\displaystyle{ 1-\frac{1}{7,6}}\)
i wyjdzie to samo.