Prawdopodobieństwo, że urządzenie zadziała

[kalwi]

Urządzenie ma 4 podzespoły działające niezależnie. Podzespoły psują się niezależnie od siebie, z jednakowymi prawdopodobieństwami 0.2. Jeśli zepsuje się tylko jeden z nich, urządzenie zadziała z prawdopodobieństwem 0.4, jeśli zepsują się dowolne dwa - z prawdopodobieństwem 0.1. Jeśli zepsują się co najmniej 3 podzespoły, urządzenie nie zadziała. Jaka jest szansa, że urządzenie zadziała?

Ktoś to rozwiązał w taki sposób:

B - urządzenie nie zadziała
\(\displaystyle{ A_1}\) - popsuł się 1 element
\(\displaystyle{ A_2}\) - 2 elementy
\(\displaystyle{ A_3}\) - 3 elementy
\(\displaystyle{ A_0}\) - nic się nie popsuło

i teraz mam określone prawdopodobieństwo popsucia się w taki sposób:

\(\displaystyle{ P(B)=P(B \setminus A_1) \cdot P(A_1)+P(B\setminus A_2) \cdot P(A_2)+P(B\setminus A_3) \cdot P(A_3)+P(B\setminus A_0) \cdot P(A_0)}\)

No i zakładając, że to jest dobrze, to odpowiedź na zadanie jest trywialna. Ale moje pytanie jest takie -
skąd się bierze np. \(\displaystyle{ P(B\setminus A_1) \cdot P(A_1)}\) ? tj nie rozumiem co oznacza to wyrażenie w przełożeniu na sytuację

[kropka+]

To w końcu mamy liczyć prawdopodobieństwo, że nie zadziała, czy że zadziała?
Zapis jest niepotrzebnie skomplikowany, bo wszystkie składniki można zapisać jako prawdopodobieństwa iloczynów zdarzeń, ponieważ z definicji prawdopodobieństwa warunkowego \(\displaystyle{ P(A/B) \cdot P(B)=P(A \cap B)}\). Ponadto można pominąć czwarty składnik, bo prawdopodobieństwo, że nic się nie popsuje i urządzenie nie zadziała wynosi zero.

[kalwi]

No mając policzone prawdopodobieństwo zdarzenia B, to A=1-B, tak to jest rozwiązane.

mhm, czyli prawdopodobieństwo, że zadziała wynosi

\(\displaystyle{ P(A)=1-P(B)=1-(P(A_3 \cap B)+P(A_2 \cap B)+P(A_1 \cap B)+P(A_0 \cap B))}\)

hmm, no dobrze.. to teraz cóż będzie oznaczać na przykład \(\displaystyle{ P(B \cap A_1)}\) w przełożeniu na tą sytuację? Największy problem mam z tym, jak tego typu zadania sobie "rozłożyć" na czynniki

[kropka+]

\(\displaystyle{ P(B \cap A _{1}}\) to prawdopodobieństwo, że urządzenie nie zadziałało z powodu jednego popsutego podzespołu.