Losowanie kul ze zwracaniem i bez.

[myszka9]

W urnie mamy \(\displaystyle{ 2}\) kule czarne, \(\displaystyle{ 5}\) białych i \(\displaystyle{ 3}\) zielone. Losujemy \(\displaystyle{ 3}\) kule ze zwracaniem i bez. Jakie jest prawdopodobieństwo w poszczególnych przypadkach, że
a) wylosowane kule będą \(\displaystyle{ 3}\) różnych kolorów?
b) wylosujemy \(\displaystyle{ 2}\) kule zielone i jedną białą?
c) dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) kule jednego koloru?

ROZWIĄZANIE

\(\displaystyle{ U}\) - zbiór zdarzeń elementarnych, polegający na wylosowaniu \(\displaystyle{ 3}\) kul

\(\displaystyle{ |U| = {10 \choose 3}}\)

a)
bez zwracania i ze zwracaniem - to samo :
\(\displaystyle{ |A|= {2 \choose 1} \cdot {5 \choose 1} \cdot {3 \choose 1}}\)

b)
bez zwracania:
\(\displaystyle{ |B|={3 \choose 2} \cdot {5 \choose 1}}\)

ze zwracaniem:
\(\displaystyle{ |B|={3 \choose 1} \cdot {3 \choose 1} \cdot {5 \choose 1}}\)

c)
bez zwracania:
\(\displaystyle{ |C|={3 \choose 2 } \cdot {7 \choose 1} + {5 \choose 2} \cdot {5 \choose 1} + {2 \choose 2} \cdot {8 \choose 1}}\)

ze zwracaniem :
\(\displaystyle{ |C| = 3 \cdot 3 \cdot {7 \choose 1} + 5 \cdot 5 \cdot {5 \choose 1} + 2 \cdot 2 \cdot {8 \choose 1}}\)

Oczywiście prawdopodobieństwa zdarzenia \(\displaystyle{ X, to P(X) = \frac{|X|}{|U|}}\) , gdzie \(\displaystyle{ X \in \{A,B,C}\}\)


Poprawnie rozwiązane? Jeżeli nie, to dlaczego?

[norwimaj]

Masz ten sam zbiór zdarzeń elementarnych dla obu wariantów zadania?

Wariant bez zwracania nieźle, ale ze zwracaniem całość do poprawki.

[myszka9]

Racja dla bez zwracania powinno być \(\displaystyle{ |U| = 10^3}\)

Nieźle, to znaczy, że dobrze?
Co należy poprawić?

[norwimaj]

Ponieważ w wariancie bez zwracania używasz przestrzeni, w której kolejność losowania ma znaczenie (i słusznie), to moce zdarzeń też powinnaś liczyć uwzględniając kolejność. Na przykład \(\displaystyle{ |A|=2\cdot5\cdot3\cdot3!}\) (wybieramy po jednej kuli każdego koloru i ustawiamy je w jakiejś kolejności).

[myszka9]

ze zwracaniem mi chodziło, źle napisałam. Kurczę, nie rozumiem : dlaczego kolejność ma znaczenie?

[norwimaj]

I konsekwentnie ja też źle napisałem. W wariancie ze zwracaniem uwzględniasz kolejność i \(\displaystyle{ |U|=10\cdot10\cdot10}\) (pierwszą kulę wybierasz na \(\displaystyle{ 10}\) sposobów, drugą na \(\displaystyle{ 10}\) i trzecią na \(\displaystyle{ 10}\)). Bez uwzględniania kolejności nie można byłoby stosować schematu klasycznego, bo wylosowanie multizbioru \(\displaystyle{ \{C_1,C_1,C_1\}}\) jest mniej prawdopodobne, niż \(\displaystyle{ \{C_1,C_2,B_1\}}\) (gdzie \(\displaystyle{ C_1,C_2,B_1}\) to pewne trzy kule).

[myszka9]

czyli wtedy byłoby :

\(\displaystyle{ |A|=5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3! \\
|B|=5 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3! \\
|C|=(5 \cdot 5 \cdot (3 + 2) +3 \cdot 3 \cdot (2+5) + 2 \cdot 2 \cdot (5+3)) \cdot 3!}\)
?

[norwimaj]

\(\displaystyle{ |B|=5 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3! \\}\)

Nie, bo w ten sposób liczysz niektóre sytuacje dwukrotnie, na przykład:
1. losuję kule: \(\displaystyle{ B_1,Z_1,Z_2}\) i ustawiam je w kolejności \(\displaystyle{ (B_1,Z_1,Z_2)}\),
2. losuję kule: \(\displaystyle{ B_1,Z_2,Z_1}\) i ustawiam je w kolejności \(\displaystyle{ (B_1,Z_1,Z_2)}\).

Tu wynikiem będzie \(\displaystyle{ 3\cdot5\cdot3\cdot3}\). Wybieram miejsce dla białej kuli (jedno z trzech), wybieram białą kulę, wybieram zieloną kulę na pierwsze z dwóch miejsc, wybieram zieloną kulę na drugie z dwóch miejsc.

To samo dotyczy zdarzenia \(\displaystyle{ C}\).

[myszka9]

ok, bo kule są nierozróżnialne