Hej,
sprawdziłby ktoś czy dobrze rozwiązałem zadanie? Treść jest następująca:
Wybieramy strzelca A1, A2, A3 lub A4 w zależności od wyniku 3-krotnego rzutu
niesymetryczną monetą taką, że stosunek uzyskania orła do reszki jest jak 1:3.
Wybieramy strzelca Ai (i=1,2,3,4) jeśli uzyskamy (i-1) orłów.
Prawdopodobieństwo trafienia do tarczy przez i-tego strzelca wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{i+1}}\). Jakie
jest prawdopodobieństwo, że tarcza nie została trafiona.
Rozwiązanie:
Na początek zapisuję wszystkie możliwości
S={(0,0,0), (0,0,R), (0,R,0), (R,0,0), (R,R,0), (R,0,R), (0,R,R), (R,R,R)}, gdzie 0 - wyrzucenie orła, R - wyrzucenie reszki
Prawdopodobieństwa odpowiadające tym możliwościom:
\(\displaystyle{ \left\{ (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})
(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4})
(\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4})
(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})
(\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4})
(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4})
(\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})
(\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}) \right\}}\)
\(\displaystyle{ \left\{ (\frac{1}{64})
(\frac{3}{64})
(\frac{3}{64})
(\frac{3}{64})
(\frac{9}{64})
(\frac{9}{64})
(\frac{9}{64})
(\frac{27}{64}) \right\}}\)
Niech \(\displaystyle{ A_i}\) będzie zdarzeniem, że wybieramy i-tego zawodnika.
\(\displaystyle{ P(A_1) = \frac{27}{64}\\
P(A_2) = \frac{9}{64}+\frac{9}{64}+\frac{9}{64}=\frac{27}{64}\\
P(A_3) = \frac{3}{64}+\frac{3}{64}+\frac{3}{64}=\frac{9}{64}\\
P(A_4) = \frac{1}{64}}\)
Niech \(\displaystyle{ B_i}\) będzie zdarzeniem, że i-ty zawodnik trafia do tarczy.
\(\displaystyle{ B_1= \frac{1}{2}; B_2= \frac{1}{3}; B_3= \frac{1}{4}; B_4= \frac{1}{5}}\)
Niech C będzie zdarzeniem, że wylosowany zawodnik trafił do tarczy.
\(\displaystyle{ P(C) = P(A_1)*P(B_1)+P(A_2)*P(B_2)+P(A_3)*P(B_3)+P(A_4)*P(B_4)}\)
No i tutaj podstawiam i obliczam i wynik wychodzi 0,38984375.
Z góry dzięki!