Witam!
Miałem na wykładzie z rachunku prawdopodobieństwa następujące twierdzenie wraz z dowodem:
Zdarzenia \(\displaystyle{ A _{1},A _{2} ,...,A _{n}}\) są niezależne jeśli \(\displaystyle{ P(A _{1} ^{\varepsilon _{1}} \cap A _{2} ^{\varepsilon _{2}} \cap ... \cap A _{n} ^{\varepsilon _{n}}) = P(A _{1} ^{\varepsilon _{1}}) \cdot P(A _{2} ^{\varepsilon _{2}}) \cdot ... \cdot P(A _{n} ^{\varepsilon _{n}}) \ (*)}\)
dla każdego ciągu \(\displaystyle{ (\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},...,\varepsilon _{n}) \in \left\{ 0,1\right\} ^{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ A_{i} ^{\varepsilon_{i}}= \begin{cases} A_{i} \ , \ \varepsilon_{i} = 1\\ A_{i}^{c} \ , \ \varepsilon_{i} = 0 \end{cases}}\)
Dowód:
Pokażemy, że z \(\displaystyle{ (*)}\) wynika analogiczna równość dla \(\displaystyle{ n-1}\) zdarzeń \(\displaystyle{ A _{1} ^{\varepsilon _{1}}, A _{2} ^{\varepsilon _{2}},...,A _{n-1} ^{\varepsilon _{n-1}}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ A_{n}^{0} \cap A_{n}^{1} = \Omega}\), więc
\(\displaystyle{ P(A _{1} ^{\varepsilon _{1}} \cap A _{2} ^{\varepsilon _{2}} \cap ... \cap A _{n-1} ^{\varepsilon _{n-1}})=\\P(A _{1} ^{\varepsilon _{1}} \cap A _{2} ^{\varepsilon _{2}} \cap ... \cap A _{n-1} ^{\varepsilon _{n-1}} \cap A_{n}^{0})+P(A _{1} ^{\varepsilon _{1}} \cap A _{2} ^{\varepsilon _{2}} \cap ... \cap A _{n-1} ^{\varepsilon _{n-1}} \cap A_{n}^{1})\stackrel{(*)}{=}\\ \\P(A _{1} ^{\varepsilon _{1}}) \cdot P(A _{2} ^{\varepsilon _{2}}) \cdot ... \cdot P(A _{n-1} ^{\varepsilon _{n-1}}) \cdot P(A_{n}^{0})+P(A _{1} ^{\varepsilon _{1}}) \cdot P(A _{2} ^{\varepsilon _{2}}) \cdot ... \cdot P(A _{n-1} ^{\varepsilon _{n-1}}) \cdot P(A_{n}^{1})=\\ \\P(A _{1} ^{\varepsilon _{1}}) \cdot P(A _{2} ^{\varepsilon _{2}}) \cdot ... \cdot P(A _{n-1} ^{\varepsilon _{n-1}})(P(A_{n}^{0})+P(A_{n}^{1}))=\\ \\P(A _{1} ^{\varepsilon _{1}}) \cdot P(A _{2} ^{\varepsilon _{2}}) \cdot ... \cdot P(A _{n-1} ^{\varepsilon _{n-1}})}\)
Czyli mamy \(\displaystyle{ P(A _{1} ^{\varepsilon _{1}} \cap A _{2} ^{\varepsilon _{2}} \cap ... \cap A _{i} ^{\varepsilon _{i}}) = P(A _{1} ^{\varepsilon _{1}}) \cdot P(A _{2} ^{\varepsilon _{2}}) \cdot ... \cdot P(A _{i} ^{\varepsilon _{i}}) \ \ \forall i \in \left\{ 1,2,...,n\right\}}\)
Jednak nadal nie rozumiem jak z tego faktu wynika niezależność zdarzeń \(\displaystyle{ A _{1},A _{2} ,...,A _{n}}\). Czy ten dowód jest w ogóle kompletny?
Definicja niezależności zdarzeń była podawana na wykładzie w następujący sposób:
Zdarzenia \(\displaystyle{ A _{1},A _{2} ,...,A _{n}}\) nazywamy niezależnymi, gdy \(\displaystyle{ P(A_{i_{1}} \cap A_{i_{2}} \cap... \cap A_{i_{k}})=P(A_{i_{1}})\cdot P(A_{i_{2}})\cdot...\cdot P(A_{i_{k}})}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ \left\{ i_{1},i_{2},...,i_{k}\right\} \subset \left\{ 1,2,...,n\right\}}\)
Z góry dziękuję za pomoc.