prawdopodobieństwo wylosowania liczby wymiernej

[leszczu450]

Cześć !

Jak zabrać się za takie zadanie:

Z przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) wybrano losowo liczbę \(\displaystyle{ x}\). Jakie jest prawdopodobieństwo , że jest to liczba wymierna?


Stawiam, że ro prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ 0}\). Bo miara Lebesgue'a liczb wymiernych wynosi \(\displaystyle{ 0}\). Jednak nie wiem jak to wykorzystać w zadaniu i jak to wszystko zapisać.

Dziękuję za pomoc.

[miodzio1988]

Opcja szukaj polecam.

Spektralny nawet odpowiedział więc zabieraj się do szukania

[leszczu450]

miodzio1988,

Spektralny napisał:

Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny a więc ma miarę Lebesgue'a zero. Wynika stąd, że prawdopodobieństwo trafienia w liczbę wymierną jest zerowe. Liczby niewymierne w przedziale jednostkowym mają miarę 1 ponieważ ich dopełenienie, jak zauważliśmy, ma miarę zero. Prawie pewne jest zatem, że trafimy w liczbę niewymierną.

Ale skąd wiem, że z tego, że miara jest równa zero wynika, że prawdopodobieństwo jest zerowe?

\(\displaystyle{ A}\)- wylosowanie liczby wymiernej
\(\displaystyle{ \Omega}\)- wylosowanie jakiejkolwiek liczby z danego przedziału

W takim razie zachodzi taki wzór?

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{\mu(A)}{\mu(\Omega)}}\)

[miodzio1988]

Ale skąd wiem, że z tego, że miara jest równa zero wynika, że prawdopodobieństwo jest zerowe?

No Ty nie wiesz.

Kłania się zwykły wzór na prawdopodobieństwo geometryczne. Polecam poczytaj o tym.

[leszczu450]

miodzio1988, ok. Uwzględniając definicję z p-stwa geometrycznego, to ten wzór jest prawdziwy i wszystko działa : ) Dziękuję za pomoc.