Rozkład dwóch zmiennych losowych

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Kacper21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 5 sty 2014, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 8 razy

Rozkład dwóch zmiennych losowych

Post autor: Kacper21 »

NIe wiem, czy poprawnie myślę:
Zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\), \(\displaystyle{ Y}\) spełniają warunek: \(\displaystyle{ P\left(X \in \left[ -t,t\right]\right) = P\left(Y \in \left[ -t,t\right]\right)}\) dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ t \ge 0}\).
Czy wynika stąd, że \(\displaystyle{ X,Y}\) mają ten sam rozkład? NIE
Czy wynika stąd, że \(\displaystyle{ X^{2},Y^{2}}\) mają ten sam rozkład? NIE
miodzio1988

Rozkład dwóch zmiennych losowych

Post autor: miodzio1988 »

Wskaż zatem kontrprzykłady
Kacper21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 5 sty 2014, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 8 razy

Rozkład dwóch zmiennych losowych

Post autor: Kacper21 »

Chodzi mi o taką funkcję, która w punkcie \(\displaystyle{ 0}\) ma "garb" i która jest symetryczna względem osi OY oraz \(\displaystyle{ f(0)= \frac{1}{2}}\)
Rozkład \(\displaystyle{ X}\) zapisałbym jako funkcję stałą na przedziale \(\displaystyle{ (- \infty ,0) = \frac{1}{2}}\) oraz dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) przyjmującą wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\).

Rozkład \(\displaystyle{ Y}\) to funkcja przyjmująca wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) na przedziale \(\displaystyle{ (0,\infty)}\) i stałą, równą \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) dla \(\displaystyle{ x \le 0}\)
miodzio1988

Rozkład dwóch zmiennych losowych

Post autor: miodzio1988 »

No to nawet rozkłady nie są...
Kacper21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 5 sty 2014, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 8 razy

Rozkład dwóch zmiennych losowych

Post autor: Kacper21 »

A rozkład dwupunktowy:
\(\displaystyle{ P(X=a) = p}\) , \(\displaystyle{ P(X=-a)=q}\)
\(\displaystyle{ P(Y=a) = q}\) , \(\displaystyle{ P(Y=-a)=p}\)
będzie odpowiedni?
miodzio1988

Rozkład dwóch zmiennych losowych

Post autor: miodzio1988 »

Jeżeli \(\displaystyle{ p \neq 0.5}\) to wydaje się być ok
Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

Rozkład dwóch zmiennych losowych

Post autor: fon_nojman »

Kacper21 pisze:Czy wynika stąd, że \(\displaystyle{ X,Y}\) mają ten sam rozkład? NIE
Tu dobra odpowiedź, przykład taki jak podałeś.
Kacper21 pisze:Czy wynika stąd, że \(\displaystyle{ X^2,Y^2}\) mają ten sam rozkład? NIE
Tutaj bym szedł w innym kierunku.
Jak zapisać inaczej zdarzenie \(\displaystyle{ (X \in \left[ -t,t\right])}\) za pomocą \(\displaystyle{ X^2}\)?
Co powiesz o dystrybuantach \(\displaystyle{ X^2}\) i \(\displaystyle{ Y^2}\)?
Kacper21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 5 sty 2014, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 8 razy

Rozkład dwóch zmiennych losowych

Post autor: Kacper21 »

Zmieniłbym kontrprzykład na taki:
\(\displaystyle{ P(X=-1) = p}\) i \(\displaystyle{ P(X=1)=q}\)
\(\displaystyle{ P(Y=-1)= q}\) i \(\displaystyle{ P(Y=-1)=p}\)
Wtedy \(\displaystyle{ P(X ^{2}=(-1) ^{2} ) = P(X ^{2}=1 ^{2})=P(X=1)=q}\)
\(\displaystyle{ P(Y ^{2}=(-1) ^{2} ) = P(Y ^{2}=1 ^{2})=P(Y=1)=p}\)
jest dobrze?
Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

Rozkład dwóch zmiennych losowych

Post autor: fon_nojman »

Kacper21 pisze:\(\displaystyle{ \ldots = P(X ^{2}=1 ^{2})=P(X=1)=\ldots}\)
To nie jest prawda.

Nie znajdziesz kontrprzykładu bo \(\displaystyle{ X^2}\) i \(\displaystyle{ Y^2}\) mają ten sam rozkład.
Kacper21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 5 sty 2014, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 8 razy

Rozkład dwóch zmiennych losowych

Post autor: Kacper21 »

A jak to uzasadnić?
Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

Rozkład dwóch zmiennych losowych

Post autor: fon_nojman »

Oblicz dystrybuantę \(\displaystyle{ X^2}\) i \(\displaystyle{ Y^2.}\)
ODPOWIEDZ