z talii 52 kart
-
- Użytkownik
- Posty: 151
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 20:46
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 16 razy
z talii 52 kart
Z talii 52 kart wylosowano 13 kart. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kart dokładnie 6 jest tego samego koloru (dokładnie jeden taki układ, w sensie że nie może być np. 6 pików i 6 karo w jednym układzie, tylko jeden układ złożony z kart tego samego koloru a reszta dowolna).
Ostatnio zmieniony 24 mar 2014, o 14:17 przez loitzl9006, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 151
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 20:46
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 16 razy
z talii 52 kart
Właśnie nie wiem jak na to patrzeć, czy rozpatrywać dwa osobne przypadki że wśród wylosowanych kart są wszystkie karty tego samego koloru, czy może że wśród wylosowanych kart nie ma 6 kart tego samego koloru...
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
z talii 52 kart
Problem byłby dobrze postawiony, gdyby było dwanaście kart i po dwie tego samego koloru. Teraz dla każdego ustawienia znajdziemy kolor, który jest reprezentowany mniej lub więcej niż 6 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 151
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 20:46
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 16 razy
z talii 52 kart
To zadanie jest żywcem spisane z zadania z kolokwium, więc problem jest chyba dobrze postawiony.
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
z talii 52 kart
A ja nie widzę, czemu niby problem miałby być źle postawiony. Zrobiłbym tak:
Możliwe rozkłady, w których jeden z kolorów występuje dokładnie 6 razy są takie:
\(\displaystyle{ 7600}\)
\(\displaystyle{ 6610}\)
\(\displaystyle{ 6520}\)
\(\displaystyle{ 6511}\)
\(\displaystyle{ 6430}\)
\(\displaystyle{ 6421}\)
\(\displaystyle{ 6331}\)
\(\displaystyle{ 6322}\)
Zgodnie z treścią zadania należałoby odrzucić rozkład \(\displaystyle{ 6610}\).
Następnie obliczamy liczbę układów, w których występuje każdy z rozkładów.
Na przykład dla rozkładu \(\displaystyle{ 6520}\) będzie to \(\displaystyle{ 4!\cdot {13 \choose 6}{ 13\choose 5}{13 \choose 2}{13\choose 0}}\), gdyż z trzynastu pików wybieramy 6, z trzynastu kierów wybieramy 6, z trzynastu karo wybieramy 2 i z trzynastu trefli wybieramy 0 i mnożymy wszystko przez \(\displaystyle{ 4!}\), gdyż na tyle sposobów można pozamieniać kolory miejscami.
I na przykład dla rozkładu \(\displaystyle{ 6331}\) będzie to wyglądać trochę inaczej, bo będzie to \(\displaystyle{ 4\cdot 3\cdot {13 \choose 6}{ 13\choose 3}{13 \choose 3}{13\choose 1}}\). Nie mnożymy przez \(\displaystyle{ 4!}\), tylko przez \(\displaystyle{ 4\cdot 3}\), bo w rezultacie niektórych zamian kolorów miejscami dostaniemy ten sam układ.
No i potem wiadomo dodajemy wszystko i dzielimy przez \(\displaystyle{ {52 \choose 13}}\)
Edycja. Brakowało jednego rozkładu (6430)
Możliwe rozkłady, w których jeden z kolorów występuje dokładnie 6 razy są takie:
\(\displaystyle{ 7600}\)
\(\displaystyle{ 6610}\)
\(\displaystyle{ 6520}\)
\(\displaystyle{ 6511}\)
\(\displaystyle{ 6430}\)
\(\displaystyle{ 6421}\)
\(\displaystyle{ 6331}\)
\(\displaystyle{ 6322}\)
Zgodnie z treścią zadania należałoby odrzucić rozkład \(\displaystyle{ 6610}\).
Następnie obliczamy liczbę układów, w których występuje każdy z rozkładów.
Na przykład dla rozkładu \(\displaystyle{ 6520}\) będzie to \(\displaystyle{ 4!\cdot {13 \choose 6}{ 13\choose 5}{13 \choose 2}{13\choose 0}}\), gdyż z trzynastu pików wybieramy 6, z trzynastu kierów wybieramy 6, z trzynastu karo wybieramy 2 i z trzynastu trefli wybieramy 0 i mnożymy wszystko przez \(\displaystyle{ 4!}\), gdyż na tyle sposobów można pozamieniać kolory miejscami.
I na przykład dla rozkładu \(\displaystyle{ 6331}\) będzie to wyglądać trochę inaczej, bo będzie to \(\displaystyle{ 4\cdot 3\cdot {13 \choose 6}{ 13\choose 3}{13 \choose 3}{13\choose 1}}\). Nie mnożymy przez \(\displaystyle{ 4!}\), tylko przez \(\displaystyle{ 4\cdot 3}\), bo w rezultacie niektórych zamian kolorów miejscami dostaniemy ten sam układ.
No i potem wiadomo dodajemy wszystko i dzielimy przez \(\displaystyle{ {52 \choose 13}}\)
Edycja. Brakowało jednego rozkładu (6430)
Ostatnio zmieniony 24 mar 2014, o 20:05 przez matmatmm, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
z talii 52 kart
Nie wiem, ale moje rozumowanie da się nieco uprościć.
Wybieramy \(\displaystyle{ 6}\) kart spośród \(\displaystyle{ 13}\) jednego koloru i \(\displaystyle{ 7}\) kart z reszty talii, mnożymy razy \(\displaystyle{ 4}\), bo mamy \(\displaystyle{ 4}\) kolory i odejmujemy liczbę układów, w których jest rozkład \(\displaystyle{ 6610}\). Wychodzi tyle
\(\displaystyle{ \frac{4\cdot {13\choose 6}{39 \choose 7}-4\cdot 3\cdot {13\choose 6}^{2}\cdot {13\choose 1}}{{52\choose 13}}}\)
EDIT. Trzeba jeszcze przemnożyć liczbę układów z rozkładem \(\displaystyle{ 6610}\) przez \(\displaystyle{ 2}\), gdyż liczymy je dwukrotnie. Wyjdzie tyle
\(\displaystyle{ \frac{4\cdot {13\choose 6}{39 \choose 7}-2\cdot 4\cdot 3\cdot {13\choose 6}^{2}\cdot {13\choose 1}}{{52\choose 13}}}\)
Wybieramy \(\displaystyle{ 6}\) kart spośród \(\displaystyle{ 13}\) jednego koloru i \(\displaystyle{ 7}\) kart z reszty talii, mnożymy razy \(\displaystyle{ 4}\), bo mamy \(\displaystyle{ 4}\) kolory i odejmujemy liczbę układów, w których jest rozkład \(\displaystyle{ 6610}\). Wychodzi tyle
\(\displaystyle{ \frac{4\cdot {13\choose 6}{39 \choose 7}-4\cdot 3\cdot {13\choose 6}^{2}\cdot {13\choose 1}}{{52\choose 13}}}\)
EDIT. Trzeba jeszcze przemnożyć liczbę układów z rozkładem \(\displaystyle{ 6610}\) przez \(\displaystyle{ 2}\), gdyż liczymy je dwukrotnie. Wyjdzie tyle
\(\displaystyle{ \frac{4\cdot {13\choose 6}{39 \choose 7}-2\cdot 4\cdot 3\cdot {13\choose 6}^{2}\cdot {13\choose 1}}{{52\choose 13}}}\)