zdarzenia i prawdopodobienstwo

[patrycja3601]

Dane są:
\(\displaystyle{ A, B, C \subset \Omega \\
A \cup B \cup C= \Omega \\
P(B)=2P(A) \\
P(C)=3P(A) \\
P(A \cap B)=P(B \cap C)=P(A \cap C)}\)
Wykaż, że: \(\displaystyle{ \frac{1}{6} \le P(A) \le \frac{1}{4}}\)

[yorgin]

Obie nierówności można wykazać rozpisując \(\displaystyle{ 1=P(A\cup B\cup C)}\)

Raz korzystasz z tego, że prawdopodobieństwo sumy jest mniejsze od sumy prawdopodobieństw.

Drugi raz korzystasz ze wzoru włączeń i wyłączeń.

[patrycja3601]

jednak nie do końca rozumiem tę drugą część nierówności, jak skorzystać z tej zasady włączeń i wyłączeń

[yorgin]

Korzystasz tam z tego, że

\(\displaystyle{ P(B\cap C)+P(A\cap C)=P(A\cap B)}\)

co wynika z założeń.

[patrycja3601]

przepraszam, byla tam pomylka w znakach. ma być: \(\displaystyle{ P(A \cap B)=P(B \cap C)=P(A \cap C)}\)

[yorgin]

To niewiele zmienia, a nawet pozwala otrzymać lepsze szacowanie.

Po prostu zastąp różne składniki na przykład \(\displaystyle{ P(A\cap B)}\) i szacuj.