losowanie 3 liczb, oblicz p-stwo że podzielne przez 7

[pacman7c3]

"Ze zbioru liczb \(\displaystyle{ Z=\left\{ 1,2,3,...,40 \right\}}\) wylosowano 3 liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowano co najmniej jedną liczbę podzielną przez 7."

Rozwiązałem to zadanie trzema sposobami za każdym razem otrzymując ten sam wynik, inny niż w książce. Bardzo proszę, żeby ktoś spróbował sam rozwiązać i podał swój wynik. Jak ktoś spróbuje, to podam swoje trzy rozwiązania .

[a4karo]

Pokaż te sposoby. Zadanie jest sformułowane nieprecyzyjnie: czy mogę np. wylosować takie liczby (7,31,7)?

[pacman7c3]

Taki jest oryginalny tekst, żywcem przepisany z książki. Właśnie nie chciałbym podawać moich rozwiązań przed rozwiązaniem drugiej osoby, żeby niczego nie sugerować, nawet podświadomie . Chciałbym przekonać się, jak takie (jak uważasz - nieprecyzyjnie sformułowane) zadanie może być zinterpretowane i rozwiązane przez innego ucznia .

[miodzio1988]

Pokaż swoje rozwiązania. ja byłbym za opcją, że liczb nie zwracamy, czyli nie mogą się powtarzać

[pacman7c3]

Sposoby, wg efektywności (od najszybszego do najmozolniejszego):

Sposób 1: Schemat Bernoulliego, drzewo probabilistyczne dla zdarzenia przeciwnego (\(\displaystyle{ A'}\)).

Sposób 2: Licz moc zbioru zdarzeń przeciwnych do zdarzenia pożądanego (\(\displaystyle{ \overline{\overline{A'}}}\)), czyli liczbę losowań, w których nie wylosowano ani jednej liczby podzielnej przez 7. Dalej skorzystaj z klasycznej teorii prawdopodobieństwa, czyli \(\displaystyle{ P(A) = 1 - \frac{ \overline { \overline{A'} } } { \overline{ \overline { \Omega } } }}\)

Sposób 3: Licz moc zbioru zdarzeń pożądanych, czyli zsumuj liczby losowań, w których wylosowano: jedną, dwie, albo trzy liczby podzielne przez 7. Dalej skorzystaj z klasycznej teorii prawdopodobieństwa.

Rozwiązanie na obrazku (nie narysowałbym tutaj drzewa probabilistycznego);
obrazek zbyt duży, żeby umieścić go w poście:
[ciach]

[a4karo]

Właśnie dlatego pisałem, że zadanie jest nieprecyzyjnie sformułowane:
W rozwiązaniu 2 zakładasz, że losujesz trzy liczby bez zwracania.
W rozwiązaniach 1 i 3 zakładasz, że za każdym razem losujesz z pełnego zbioru 40 liczb i że te losowania są niezależne.

[pacman7c3]

Właśnie dlatego pisałem, że zadanie jest nieprecyzyjnie sformułowane:
W rozwiązaniu 2 zakładasz, że losujesz trzy liczby bez zwracania.
W rozwiązaniach 1 i 3 zakładasz, że za każdym razem losujesz z pełnego zbioru 40 liczb i że te losowania są niezależne.

Jesteś tego pewien?
W losowaniu nr 1, czyli schemat Bernoulliego, pomniejszam \(\displaystyle{ \overline{\overline{ \Omega }}}\) o 1 co losowanie, tzn. że losuję bez zwracania. Poszczególne prawdopodobieństwa mnożę, czyli losowanie jest zależne.

W losowaniu nr 2, czyli licząc \(\displaystyle{ \overline{\overline{A'}}}\), losuję 3 liczby spośród 35 bez istotnej kolejności, czyli na ile sposobów można wylosować 3 liczby spośród niepodzielnych przez 7. Warto zauważyć, że wyciągamy 3 kule na raz, czyli losujemy bez zwracania.

W losowaniu nr 3, czyli szukając \(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}}\), sumuję liczby możliwych kombinacji wylosowania co najmniej jednej liczby podzielnej przez 7, tzn:
- wylosowania 1 liczby podzielnej przez 7 i 2 liczb niepodzielnych przez 7
- wylosowania 2 liczb podzielnych przez 7 i 1 liczby niepodzielnej przez 7
- wylosowania 3 liczb podzielnych przez 7
Te 3-elementowe próby są od siebie niezależne, dlatego sumuję, ile ich jest. Jednakże wewnątrz tych losowań, losowania elementarne liczb podzielnych i niepodzielnych przez 7 są od siebie zależne, dlatego je mnożę: np. wyciągamy 2 liczby podzielne przez 7 jednocześnie, czyli bez zwracania, i w wyniku tego wyciągamy tylko 1 liczbę niepodzielną przez 7 z pozostałych liczb niepodzielnych przez 7, akurat w tym wypadku z 35 liczb.

A więc w każym sposobie losujemy bez zwracania i zależnie. Ponadto, gdyby tak nie było, nie otrzymano by identycznych wyników.

Proszę uprzejmie mnie poprawić, jeśli się gdzieś mylę.

[a4karo]

W schemacie Bernoulliego powtarza się to samo doświadczenie, więc nie możesz w każdym kroku zmieniać przestrzeni probabilistycznej.
Nie przeanalizowałem dokładnie przykładu 2, sry.

Przy założeniu niezwracania wylosowanych elementów rozwiązania są ok.

Jeżeli wylosowane elementy zwracany, to za każdym razem szansa wylosowania liczby niepodzielnej przez 7 wynosi \(\displaystyle{ 35/40=7/8}\), więc prawdopodobieństwo trzech takich niezależnych zdarzeń to \(\displaystyle{ 343/512}\), zatem prawdopodobieństwo sukcesu to \(\displaystyle{ 169/512}\). (Może taka jest odpowiedź w książce?

[pacman7c3]

Wstawię rozwiązanie w \(\displaystyle{ \LaTeX}\)-u i oryginalną odpowiedź, jak tylko znajdę chwilkę .
Dziękuję za odpowiedzi. Na szybko napiszę tylko, że w książce jest inne rozwiązanie niż piszesz, a4karo, i moim zdaniem jest ono wynikiem literówki w obliczeniach. -- 21 mar 2014, o 18:42 --Rozwiązania:

\(\displaystyle{ Z = \left\{ 1, 2, 3, ..., 40 \right\}}\),
Zdarzenie \(\displaystyle{ A}\): wylosowano co najmniej jedną liczbę podzielną przez 7,
Zdarzenie \(\displaystyle{ A'}\): nie wylosowano ani jednej liczby podzielnej przez 7.

Sposób 1:
Schemat Bernoulliego:

\(\displaystyle{ P(A') = \frac{35 \cdot 34 \cdot 33}{40 \cdot 39 \cdot 38} = \frac{1309}{1976} \\
\\
P(A)=1-P(A')= \frac{667}{1976} = \frac{3335}{9880}}\)

Sposób 2:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A'}} = C_{35}^{3} = {35 \choose 3} = 6545 \\
\\
P(A')= \frac{6545}{9880}=\frac{1309}{1976}
P(A)=1-P(A')}\)
Dalej jak w Sposobie 1.

Sposób 3:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}} = C_{5}^{1} \cdot C_{35}^{2} + C_{5}^{2} \cdot C_{35}^{1} + C_{5}^{3} = 3335 \\
\\
P(A)= \frac{3335}{9880}=\frac{667}{1976}}\)

A więc trzeba sposobami otrzymujemy ten sami wynik.
Natomiast rozwiązanie w książce wygląda następująco:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}= {40 \choose 3} \\
A': \overline{\overline{A'}}= {5 \choose 3} \\}\)

Moim zdaniem właśnie w tym miejscu jest błąd: licząc moc zbioru zdarzeń przeciwnych, powinno być:
\(\displaystyle{ A': \overline{\overline{A'}}= {35 \choose 3}\\}\)
\(\displaystyle{ A': P(A') = \frac{1}{998} \\
A: P(A) = \frac{997}{998} \\}\)

I co myślicie? Kto się myli?