Niezależność zmiennych losowych

[vital]

czy mógłby mi ktoś podać przykład niezależności zmiennych losowych w oparciu o taką definicję niezależności:
Zmienne \(\displaystyle{ X=X(\omega), Y=Y(\omega)}\) nazywamy niezależnymi zmiennymi losowymi, jeżeli dla dowolnych podzbiorów \(\displaystyle{ A,B\in \mathbb{R}}\) zdarzenia \(\displaystyle{ Z_{1}=\left\{\omega:X(\omega)\in A \right\} }}\) i \(\displaystyle{ Z_{2}=\left\{\omega:Y(\omega)\in B \right\} }}\) są niezależne.

[Adifek]

Twoja definicja jest niewłaściwa. Tam powinny być być zbiory borelowskie, a nie dowolne podzbiory prostej. Inaczej, biorąc przeciwobrazy, dostalibyśmy całą masę zbiorów niemierzalnych.

[vital]

ok, a czy po zmianie def. mógłbys podać jakis przykład niezależności?

[Adifek]

Np. zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie \(\displaystyle{ P(X=c)=1}\) jest niezależna z dowolną inną zmienną losową.