Obliczyć wariancję i wartość oczekiwaną

[PiotrowskiW]

Niech \(\displaystyle{ X=(X_1,X_2...X_n)}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym
\(\displaystyle{ N(m,\sigma^2)}\). Obliczyć wartość oczekiwaną oraz wariancję:
\(\displaystyle{ T_{n-1}(X)=k\sum_{i=1}^{n-1} (X_{i-1}-X_i)^2}\)

Proszę nie pisać odpowiedzi w stylu "w czym problem".

[miodzio1988]

Do czego póki co sam doszedłeś?

[PiotrowskiW]

Znalazłem coś takiego:
\(\displaystyle{ k\sum \left[(x_{i+1}-\overline{x})^2+(x_i-\overline{x})^2-2(x_{i+1}-\overline{x})(x_i-\overline{x}) \right]}\)
biorąc \(\displaystyle{ \overline{x}:=m}\)
i wchodząc pod sumę z wartością oczekiwaną dostaję, że
wartości oczekiwane dwóch pierwszych składników to \(\displaystyle{ n \cdot m, (n-1) \cdot m}\)
odpowiednio.
Korzystając z niezależności zmiennych rozbijam wartość oczekiwaną iloczynu na iloczyn wartości oczekiwanych i obie równe są zero.
Ostateczna odpowiedź to:
\(\displaystyle{ ET _{n-1}=2(n-1)\sigma^2}\) ? tak?

[miodzio1988]

A nie możesz po prostu tego normalnie rozpisać? Podnieś do kwadratu i wtedy zobaczymy co nam wychodzi. I bedziemy wchodzic z wartością oczekiwaną wtedy

[PiotrowskiW]

\(\displaystyle{ E(T_{n-1})=E(k\sum_{i=1}^{n-1} (X_{i-1}-X_i)^2)=kE(\sum_{i=1}^{n-1} (X_{i-1}-X_i)^2))=
k\sum_{i=1}^{n-1} E(X_{i-1}-X_i)^2)=k \cdot \sum_{i=1}^{n-1}E(X_{i-1}^2)-E(2 \cdot X_{i-1} \cdot X_i) -E(X_i^2)}\)
Nie pamiętam za bardzo własności wartości oczekiwanej ale ten "środek" jest równy zero, a co z
\(\displaystyle{ E(X_{i-1}^2)}\) nie mogę tego rozbić na iloczyn wartości oczekiwanych.

[miodzio1988]

Udowodnij, że środek jest zerowy.

Drugi moment możesz policzyć za pomocą wariancji. jaka jest związek wariancji i wartości oczekiwanej ?

[PiotrowskiW]

Dobra, środek nie jest zerowy.
\(\displaystyle{ D ^{2}(X)=E(X-EX)^2=E(X^2)-(EX)^2}\)
To ostatecznie:
\(\displaystyle{ \cdot \sum_{i=1}^{n-1}E(X_{i-1}^2)-E(2 \cdot X_{i-1} \cdot X_i) +E(X_i^2)=
n \cdot( \sigma^2+m^2)-2(n-1)m^2-(n-1) \cdot \sigma^2)=(2n-1)(\sigma^2+m^2)-2(n-1)m^2}\)
Zostało m co jest źle?

-- 13 mar 2014, o 20:17 --

Zły nawias. Już wiem.
A teraz wariancja:
\(\displaystyle{ D ^{2}(T)=E(T-ET)^2=E(\sum_{i=1}^{n-1} (X_{i-1}-X_i)^2-2(n-1)\sigma^2)}\)
Czy tutaj \(\displaystyle{ \sigma^2 \cdot2(n-1)}\) jest stałą? wydaje mi się że nie. Nie mam pomysłu jak to policzyć.

[matmatmm]

Jest literówka w treści zadania. Powinno być:

\(\displaystyle{ T_{n-1}=\sum_{i=1}^{n-1}(X_{i+1}-X_{i})^{2}}\)

\(\displaystyle{ \cdot \sum_{i=1}^{n-1}E(X_{i-1}^2)-E(2 \cdot X_{i-1} \cdot X_i) +E(X_i^2)=
n \cdot( \sigma^2+m^2)-2(n-1)m^2-(n-1) \cdot \sigma^2)=(2n-1)(\sigma^2+m^2)-2(n-1)m^2}\)
Zostało m co jest źle?

Według mnie to powinno być tak:
\(\displaystyle{ \cdot \sum_{i=1}^{n-1}E(X_{i+1}^2)-E(2 \cdot X_{i+1} \cdot X_i) +E(X_i^2)=
(n-1) \cdot( \sigma^2+m^2)-2(n-1)m^2+(n-1) \cdot (\sigma^2 +m^2)=2(n-1)(\sigma^2+m^2)-2(n-1)m^2=2(n-1)\sigma^{2}}\)

A teraz wariancja:
\(\displaystyle{ D ^{2}(T)=E(T-ET)^2=E(\sum_{i=1}^{n-1} (X_{i-1}-X_i)^2-2(n-1)\sigma^2)}\)
Czy tutaj \(\displaystyle{ \sigma^2 \cdot2(n-1)}\) jest stałą? wydaje mi się że nie. Nie mam pomysłu jak to policzyć.

Ja bym liczył ze wzroru:

\(\displaystyle{ D^2 T=ET^2-(ET)^2}\)

\(\displaystyle{ T^{2}=(\sum_{i=1}^{n-1}(X_{i+1}-X_i)^2)^2=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-1}(X_{i+1}-X_i)^2 (X_{j+1}-X_j)^2}\)

I teraz trzeba wszystko powymnażać. Wychodzą trochę skomplikowane rachunki, więc być może jest prostszy sposób.

-- 14 mar 2014, o 14:52 --

Mój wynik: \(\displaystyle{ D^2 T= (12n-8)\sigma^4}\)
EDIT: Znalazłem mały błąd. Po poprawie wychodzi \(\displaystyle{ D^2 T= (12n-16)\sigma^4}\)