Dowód twierdzenia o ciągłości z dołu

[Oleszko12]

Został mi tylko dowód (iii) coś kminiłam ale nie jestem pewna czy dobrze jest przeprowadzony. Proszę o sprawdzenie i ewentualne wskazówki. Z góry Dziękuję.

Tw. Niech \(\displaystyle{ \mu}\) będzie miarą \(\displaystyle{ \left( \Omega, F\right)}\):

(i) Monotoniczność jeśli \(\displaystyle{ A \subset B}\), to \(\displaystyle{ \mu\left( A\right) \le \mu\left( B\right)}\)

(ii) Subaadytywność Jeżeli \(\displaystyle{ A \subset \bigcup_{m=1}^{ \infty } A_{m}}\), to \(\displaystyle{ \mu\left( A\right) \le \sum_{m=1}^{ \infty } \mu\left( A_{m}\right)}\)

(iii) Ciągłość z dołu Jeżeli \(\displaystyle{ A_{n}\uparrow A}\) tzn. \(\displaystyle{ \left( A_{1} \subset A_{2} \subset \ldots \wedge \bigcup_{i} A_{i}=A \right)}\) , to \(\displaystyle{ \mu\left( A_{i}\right)\uparrow \mu\left( A\right)}\) (jest zbieżny monotonicznie do A).

D-d. (iii)

Niech \(\displaystyle{ B_{n}=A_{n}-A_{n-1}}\)

\(\displaystyle{ B_{1}=A_{1}}\)

\(\displaystyle{ B_{2}=A_{2}-A_{1}}\)

\(\displaystyle{ B_{3}=A_{3}-A_{2}}\)

Więc \(\displaystyle{ B_{n}}\)- są rozłączne.

\(\displaystyle{ \bigcup B_{n}= \bigcup A_{n}= A}\)

\(\displaystyle{ \mu\left( A\right) = \sum_{m=1}^{ \infty } \mu\left( B_{m}\right)=\lim_{n\to\infty } \sum_{n=1}^{ \infty } \mu\left( B_{m}\right)= \lim_{n\to\infty } \mu\left( \bigcup_{m=1}^{n} B_{m}\right)=\lim_{n\to\infty } \mu\left( A_{n}\right)}\)

c.k.d

[Adifek]

Jest ok.

[Oleszko12]

Ku pamięci -ten dowód jednak nie jest ok.

[Adifek]

Faktycznie, przeoczenie - powinno być \(\displaystyle{ B_n = A_n - \bigcup_{k<n}A_k}\). Odjęcie tylko ostatniego nie zapewnia rozłączności. No i w ostatniej linijce trochę nie szanujesz indeksów ale to już drobiazg. Poza tym ok.